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1、线性系统的状态空间描述第一页，共七十五页。系统描述中的基本概念系统描述中的基本概念若系统的输出若系统的输出 由输入由输入 唯一确定唯一确定,则称系统在则称系统在 是松弛的。是松弛的。1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。系统：一些相互制约的部分所构成的整体。2. 输入和输出输入和输出: 输入输入: 由外部施加到系统上的全部激励由外部施加到系统上的全部激励 输出输出: 从外部量测到的来自系统的信息从外部量测到的来自系统的信息3. 系统数学描述的两种类型：系统数学描述的两种类型： 1) 系统的外部描述系统的外部描述传递函数传递函数 2) 系统的内部描述系统的内部描述状态空间表达式状态空间表达
2、式 4.松弛性松弛性: 系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念第二页，共七十五页。5.线性线性: 一个松弛系统一个松弛系统,当且仅当对任何输入当且仅当对任何输入 及任意常数及任意常数 , 均有均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。则该系统称为线性的，否则为非线性。6.定常性（时不变性）定常性（时不变性）:基本概念续基本概念续(可加性可加性)(齐次性齐次性) 一个松弛系统当且仅当对任何输入一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数和任意实数, 均有均有则称系统是定常的则称系统是定常的,否则称为时变的。否则称为时变的。 状态空间的基本概念状态空间的基本概念第三页，共七十五页。状态空间的
3、基本概念状态空间的基本概念 1.1.状态状态 系统在时间域中的行为或运动信息的集合系统在时间域中的行为或运动信息的集合2.2.状态变量状态变量 完全表征系统运动状态的最小一组变量。一般记为3. 3. 状态向量状态向量 描述系统状态的描述系统状态的n个状态变量看作向量个状态变量看作向量 的分量的分量 向量向量 称为称为 维状态向量维状态向量. . 4.4.状态空间状态空间 以以n个状态变量作为坐标轴所组成的个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间维空间. 状态空间的基本概念状态空间的基本概念第四页，共七十五页。续续5.状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分状态方程：描述系统状态变量与
4、输入变量之间关系的一阶微分 方程组方程组(连续系统连续系统)或一阶差分方程组或一阶差分方程组(离散系统离散系统) 6.输出方程：输出方程： 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间 函数关系的代数方程函数关系的代数方程 7.状态空间表达式状态空间表达式(动态方程动态方程)： A A，B B，C C，D D 第五页，共七十五页。状状态态方方程程输输出出方方程程Y(s)G(s)U(s)状态空间描述法示意图线性连续时间系统状态空间表达式线性连续时间系统状态空间表达式 状态空间描述法示意图状态空间的几个重要概念状态空间的几个重要概念第六页，共七十五页。线
5、性离散时间系统线性离散时间系统状态空间表达式：状态空间表达式： 线性定常系统线性定常系统状态空间表达式状态空间表达式 A为为系统矩阵系统矩阵B为为输入矩阵输入矩阵C为为输出矩阵输出矩阵D为为输入输入- -输出矩阵输出矩阵, ,一般控制系统中一般控制系统中, ,通常情况通常情况 D=0=0。输入向量用输入向量用u( (t) )表示，个数为：表示，个数为：p个个输出向量用输出向量用y( (t) )表示，个数为：表示，个数为：q个个状态向量用状态向量用x( (t) )表示，个数为：表示，个数为：n个个状态空间表达式状态空间表达式状态空间的几个重要概念状态空间的几个重要概念 线性离散系统线性离散系统状
6、态空间表达式：状态空间表达式：第七页，共七十五页。一一. .不同系统状态空间表达式的特点不同系统状态空间表达式的特点又称动态方程又称动态方程1.1.一般形式一般形式 3.3.线性系统：线性系统：若系统状态空间表达式中，若系统状态空间表达式中，f 和和g均为线性函数，则称线性系统均为线性函数，则称线性系统2 2. .自治系统： 在系统的状态空间表达式中，函数在系统的状态空间表达式中，函数f和和g均不显含时均不显含时间间t，则称自治系统。，则称自治系统。动态方程动态方程线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第八页，共七十五页。4 4 4 4. .线性定常系统线性定
7、常系统：若若A，B，C，D与时间无关，为常数。与时间无关，为常数。二、状态空间表达式的结构图二、状态空间表达式的结构图状态空间表达式结构图有三种基本单元：状态空间表达式结构图有三种基本单元：（1）积分器）积分器（2）加法器）加法器（3）比例器）比例器 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立状态空间表达式的结构图状态空间表达式的结构图第九页，共七十五页。绘制步骤：绘制步骤：1 1）在适当位置画出积分器，其个数）在适当位置画出积分器，其个数= =状态变量个数状态变量个数 每个积分器的输出等于对应的状态变量每个积分器的输出等于对应的状态变量 2 2）由状态方程和输出
8、方程画出加法器和比例器）由状态方程和输出方程画出加法器和比例器 3 3） 箭头连接各部分箭头连接各部分绘制步骤绘制步骤 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十页，共七十五页。【例例】分析分析：本系统状态变量有三个：本系统状态变量有三个一个输入量一个输入量u，一个输出量，一个输出量y，（，（p=1,=1,q=1=1）解：解： 系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（或状态变量图）如下： 绘制结构图绘制结构图 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十一页，共七十五页。1.从系统的动态结构图出发从系统的动态结构图出发三三.
9、 . 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1.1.从系统的动态结构图出发从系统的动态结构图出发-6-6-11-6 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十二页，共七十五页。解：解： 状态变量的选取有三种途径：状态变量的选取有三种途径： （1 1）选取系统的储能元件的输出量作为状态变量）选取系统的储能元件的输出量作为状态变量-从机理从机理 出发出发 （2 2）选取系统的输出量及其各阶导数）选取系统的输出量及其各阶导数 （3 3）选择使系统状态方程为某标准形式的变量）选择使系统状态方程为某标准形式的变量 2.2.从系统机理出发从系统机理出发2.从系统机理出发
10、从系统机理出发 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十三页，共七十五页。 例例.列写列写RLCRLC网格的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间网格的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间 表达式。表达式。解：解：法一：选法一：选为系统的状态变量为系统的状态变量则例例9-1 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十四页，共七十五页。解：解：写成矩阵写成矩阵- -向量形式为：向量形式为：法二：选法二：选为系统的状态变量为系统的状态变量则则写成矩阵写成矩阵- -向量形式为：向量形式为：例例9-1续续 线性定常
11、连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十五页，共七十五页。结论：结论：(1).(1).状态变量选取具有非唯一性，但状态变量个数相同状态变量选取具有非唯一性，但状态变量个数相同= =系统的阶次；系统的阶次；(2).(2).状态变量具有独立性；状态变量具有独立性；(3).(3).不同组状态变量之间可做等价变换，称作状态的线性变换。不同组状态变量之间可做等价变换，称作状态的线性变换。例例9-1续续 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十六页，共七十五页。【例例】试列写机械运动系统以质量试列写机械运动系统以质量M 的位移的位移y为输出的
12、状态空间表达式。为输出的状态空间表达式。MkfyF( (外力外力) )解：令x1= y2x = vu = = F例题例题 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十七页，共七十五页。3.3.从微分方程出发从微分方程出发a. a. 系统输入量中不含导数项系统输入量中不含导数项关键：选取输出量导数为状态变量关键：选取输出量导数为状态变量【例例】设系统设系统uyyyy67416= =+ + + +& & & & & & & & & &解解: :选择状态变量选择状态变量令：令： 3.从微分方程出发从微分方程出发 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态
13、空间表达式的建立第十八页，共七十五页。则则: :b. b. 系统输入量中含有导数系统输入量中含有导数原则：使状态方程不含原则：使状态方程不含u的导数。的导数。系统输入量中含有导数系统输入量中含有导数 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第十九页，共七十五页。由上式求导得：由上式求导得：整理得：整理得：则：则：续续 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十页，共七十五页。注注 意：这种方法不适用。意：这种方法不适用。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数
14、建立状态空间表达式。注注 意意 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十一页，共七十五页。【例】状态空间表达式为：例题 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十二页，共七十五页。4.从传递函数出发 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立4 从传递函数出发 由传递函数出发直接求出系统的状态空间表达式由传递函数出发直接求出系统的状态空间表达式, ,属于系统的实属于系统的实现问题现问题第二十三页，共七十五页。1)直接分解法直接分解法 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空
15、间表达式的建立U(s)Z(s)Y(s)1) 1) 直接分解法直接分解法第二十四页，共七十五页。A) 可控标准形可控标准形将分解为两部分串联，为中间变量，应满足：选取状态变量： ， ， ， A)可控标准形可控标准形 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十五页，共七十五页。结论：结论：若系统状态空间表达式中，A，b所示如上，称此状态空间 表达式为可控标准形。整理得整理得:结论 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十六页，共七十五页。B)可观测标准形可观测标准形 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空
16、间表达式的建立结论：结论：结论：结论：若系统状态空间表达式中，若系统状态空间表达式中，A，c所示如上，称此状态空间表达所示如上，称此状态空间表达式为可观测标准形。式为可观测标准形。B) 可观测标准形可观测标准形第二十七页，共七十五页。【例例】已知系统传递函数为已知系统传递函数为 ，试求状态空间表式。，试求状态空间表式。 解：（1）可控标准型）可控标准型状态空间表达式为：状态空间表达式为：其中： （2）可观测标准型状态空间表达式为：）可观测标准型状态空间表达式为：其中：可观测标准形可观测标准形例题例题 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十八页，共七十五页。2) 2) 串联分解法串联分解法 - - 适用于传递函数乘积形式适用于传递函数乘积形式A)式中：2)串联分解法串联分解法A)只含单根只含单根 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第二十九页，共七十五页。取状态变量：向量矩阵形式为：续续 线性定常连续线性定常连续系统状态空间表达式的建立系统状态空间表达式的建立第三十页，共七十五页。 试求状态空间表达式。解： 【例
