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1、第六章 格林函数法本章主要研究基本解和格林函数及其在边值问题和初值问题中的应用，并介绍混合问题的相关解法。6.1 格林公式高斯公式其中n为S的外法线方向。（1）取整理得于是得到第一格林公式（2）得同理，有（3）将上二式两边相减得第二格林公式（4）三维公式几种常用的积分形式在公式（4）中若令 v=(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得若令u=1，可得平面格林公式或写成对弧长积分的形式（5）（6）其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。二维公式由公式（6）可推导推导出，平面第二格林公式（7）（8）其中n为边界曲线C的外法线向量。关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系推导细节公式
2、（6）左边等于设公式（6）右边等于如是证得公式（8）。推导细节几种常用的积分形式在公式（8）中若令 v=(x,y)，并在边界上取 v=0，可得若令 u=1，可得讨论二维第二格林公式令由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式6.2 基本解定义 1 设L为线性微分算子，称方程 LU=(M-M0)的解U(M,M0)为方程 LU=0 或LU=f(M) 的解本解解本解，其中M为区域内任意一点，M0为中的任意一个固定点。 求三维拉普拉斯方程的基本解解 由定义 1 可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与,无关，方程化为其中求解常微分方程可得（1）考虑到基本解在 r=0 处应
3、具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（1）两边进行体积分得利用格林公式，有所以最后得三维拉普拉斯方程的基本解取边界S 为球面，其半径为 r，则有求二维拉普拉斯方程的基本解解 由定义1 可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与无关，方程化为其中求解常微分方程得（2）考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（2）两边进行面积分得利用格林公式，有所以于是得二维拉普拉斯方程的基本解取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有求二维亥姆霍斯方程的基本解解 由定义1 可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U
4、与无关，方程化为其中求解零阶贝塞尔方程零阶贝塞尔方程得（3）考虑到在 r = 0 处，J0(kr)有界，取 A = 0，而 Y0(kr) 具有(2/)lnr 的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行面积分得利用格林公式，有取边界C为圆周，其半径为 r，则有于是得二维亥姆霍斯方程的基本解练习利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解解以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与,无关。若U满足（a）则必满足设未知函数表达式为其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得于是，最后得到双调和方程的基本解6.3 格林函数二维格林函数的定义定义2 满足的函数称为拉普拉斯方程第一边值问
5、题的格林函数，其中B为平面区域D的边界。定理1 格林函数具有对称性，即 G(M1;M2)= G(M2;M1)这里点M1的坐标是(x1,y1)，点 M2的坐标是(x2,y2) 。同理可定义三维拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数。满足的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。三维格林函数的定义类似可定义三维拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数。满足的函数称为拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。但是不可不可定义拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。若定义满足的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。证明 进行体积分并利用格林公式，可得易知齐次边界条件无法满
6、足，上述定义不能成立，证毕。格林函数的求法将格林函数看作是基本解基本解与齐次解齐次解之和，即相应的方程为及基本解在前面已经求出，有边界区域齐次齐次方程解解的求法在下一节介绍。假设格林函数已经求出，下面研究三维拉普拉斯算子第一边值问题解的积分表示。若 u 满足如下定解问题则解 u 的积分公式为其中M (x,y,z)为积分变量。三维问题解的积分公式证明类似地可以证明二维拉普拉斯方程第一边值问题解的为积分公式为二维问题解的积分公式其中M (x,y,)为积分变量。6.4 位势方程第一边值问题6.4.1 半空间的格林函数半空间的格林函数满足半空间的格林函数满足其中点M0(x0,y0,z0)的坐标分量z0
7、0。采用静电源镜像法镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面z=0上感应的负电荷在点M (x,y,z) 处产生的总电位。zyxM0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)M如右图所示，M1是M0关于z=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在z=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y,z)的总电位就是格林函数O此式右端第一项是基本解，第二项在上半空间内满足拉普拉斯方程。下面利用半空间格林函数给出定解问题解的积分表达式。应用举例首先计算边界上的方向导数代入相应积分公式，可得6.4.2 球域上的格林函数在以原点为球心，以在以原点为球心
8、，以R R为半径的球域内的格林函数满足为半径的球域内的格林函数满足其中点M0(0,0,0)的 00。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面y=0上感应的负电荷在点M (x,y) 处产生的总电位。yxM0(x0,y0)M1(x0, -y0)M如右图所示，M1是M0关于y=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在y=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y)的总电位就是格林函数O此式右端第一项是基本解，第二项在上半平面内满足拉普拉斯方程。利用格林函数，求解半平面上拉普拉斯方程应用举例的狄利克雷问题。解解首先计算边界上的方向导数代入
9、相应积分公式可得6.4.4 圆域上的格林函数在以原点为圆心，以在以原点为圆心，以R R为半径的圆域内的格林函数满足为半径的圆域内的格林函数满足其中点M0(0,0)的 0R。点M0关于 =R圆周的反演点为M1 (R2/0,0)。则点M (,)的格林函数为此式右端第一项是基本解，第二项在圆域内满足拉普拉斯方程。验证当点M在圆周上任意位置时，三角形MOM0与三角形M1OM在O点有共同的夹角=-0，且此夹角的两边成比例O M0 M1MR所以这两个三角形相似，故下面利用圆域上的格林函数给出定解问题解的积分表达式。利用余弦定理，有代入相应积分公式，可得此为圆域的泊松公式。6.4.5 固有函数法当求解区域规
10、则时，可以采用固有函数法求解格林函数。二维边值问题的格林函数满足 其中B为平面区域D的边界。考虑固有函数问题假设已求出固有值mn和相应固有函数mn。将格林函数和单位脉冲函数按固有函数展开利用单位函数性质和固有函数的正交性，可得为确定系数amn，计算可得对比根据格林函数的微分方程，故有应用举例矩形域上的的格林函数求矩形域上泊松方程非齐次第一边值问题的解。其中D为矩形区域为矩形区域：0 xa,0yb。解 首先求解偏微分方程固有函数问题假设它有分离变量形式的非零解代入方程得从而得出两个常微分方程分离变量后，知边界条件为于是得到两个常微分方程的固有值和固有函数进一步得偏微分方程固有值和固有函数得格林函
11、数边值问题解的积分形式为即即*6.4.6 亥姆霍斯方程边值问题定义 三维亥姆霍斯第一边值问题的格林函数G(M;M0)满足其中V为空间区域V的边界。格林函数问题当区域 V 为某些特殊区域，可用基本解和镜像法求格林函数。对于一般区域，求格林函数的方法是固有函数展开。若已经求得固有值问题的固有值和固有函数，如果 k2 不等于固有值，根据S-L理论可得格林函数的级数表达式定理设函数 G 是亥姆霍斯方程初值问题的格林函数， , f 都是连续函数，则非齐次亥姆霍斯边值问题 解的积分公式为。练习已知格林函数G(M;M0)满足其中V为空间区域V的边界。试证明非齐次亥姆霍斯边值问题的积分形式的解为证明6.5 波
12、动方程初值问题的基本解6.5.1 一维初值问题基本解的定义定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。基本解问题设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题对无界域内坐标变量进行傅里叶变换。傅里叶变换。设解解假设无穷处边界条件为则可将偏微分方程的初值问题变换为常微分方程的初值问题，可得到像函数作傅氏逆变换，有定理设U是波动方程初值问题的基本解， (x,), (x,), f (x,t)都是连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题 解的积分公式为其中。证明 方法一可知初值条件得到满足。可知非齐次方程也得到满足，证毕。方法二 U(M,t)满足定解问题可知
13、U*满足定解问题定理证明分三个部分： 根据齐次化原理，可知必满足非齐次方程 Ut满足定解问题根据叠加原理，定理得证得证。易知， Ut* 满足定解问题定理的应用利用基本解，求一维非齐次波动方程初值问题解的解析表达式。代入解的积分表达式其中将积分表达式右端三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。将基本解同理首先计算最后计算三部分相加，即得一维非齐次波动方程初值问题的达朗贝尔公式6.5.2 三维初值问题基本解的定义定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。设 U 为基本解，求三维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题基本解问题对无界域内三个坐标变量同时进行三维傅里叶傅里叶变
14、换。变换。设解解假设无穷处边界条件为则可将偏微分方程的初值问题变换为常微分方程的初值问题，可得到像函数作傅氏逆变换，有适当选取球坐标(,)，使最后得定理设U是波动方程初值问题的基本解， (x,y,z), (x,y,z), f (x,y,z,t)都是连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题 解的积分公式为其中。证明 方法一可知初值条件得到满足。可知非齐次方程也得到满足，证毕。定理的应用利用三维基本解，求三维非齐次波动方程初值问题解的解析表达式。代入解的积分表达式其中将积分表达式右端三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。将基本解选取球坐标系可得其中同理
15、得最后根据齐次化原理，计算其中其中三部分相加，即得三维非齐次波动方程初值问题的累次积分形式的泊松公式与第二章行波法的结果相一致，并增加了非齐次项。6.5.3 二维初值问题基本解的定义定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。设 U 为基本解，求二维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题基本解问题考虑二维初值问题采用降维法，利用三维泊松公式三维泊松公式可推导出二维泊松公式：解将基本解问题的初值条件代入可得即6.6 热传导方程初值问题的基本解6.6.1 一维初值问题基本解的定义定义 称定解问题的解为热传导方程初值问题的基本解。设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题基本
16、解问题解对x取傅立叶变换，设定解问题化为常微分方程初值问题解得取逆变换得设U是热传导方程初值问题的基本解， (x,), f (x, t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则非齐次热传导方程初值问题 解的积分公式为定理其中证明可知初值条件和方程得到满足，证毕。定理应用求一维非齐次热传导方程初值问题的解。将一维基本解U代入解的积分表达式此结果与第五章积分变换的相应结果一致。可得6.6.2 n 维初值问题基本解的定义定义 称定解问题的解为热传导方程初值问题的基本解。设 U 为基本解，求 n 维热传导方程初值问题的基本解，即求初值问题基本解问题解对 x 取n维傅立叶变换，设定解问题化为常微分方程初值问题解得取逆变换得即设U是n维热传导方程初值问题的基本解， (x), f (x,t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则n维非齐次热传导方程初值问题 解的积分公式为定理其中证明可知初值条件和非齐次方程得到满足，证毕。定理应用求三维非齐次热传导方程初值问题的解。将三维基本解U代入相应的积分表达式，可得与第五章积分变换的相应结果一致，并增加了非齐次项。*6.7 混合问题的格林函数6.7.1 初值齐次
