由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而而 P(AB)=P(BA)二、二、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0, 则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式, 利利用它们可计算两用它们可计算两个事件同时发生个事件同时发生的概率的概率注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个个是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这这个零件是乙厂生产的标准件个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少？率是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为P(B|A) .条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率.条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)数值关系数值关系 条件概率条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发发生生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小. 那么那么,是否一定有是否一定有:或或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)?请思考！请思考！当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球. 这种手续进行四次，试求第一、这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概二次取到白球且第三、四次取到红球的概率率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解: 设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4b个白球个白球, r个红球个红球用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病传染病模型模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的什么，其余的什么也没写也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。
先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大后抽的确比先抽吃亏吗？后抽的确比先抽吃亏吗？让我们用让我们用概率论的知识来计算一下概率论的知识来计算一下我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说， 最后我们用本讲内容来解答囚犯和看最后我们用本讲内容来解答囚犯和看守间关于处决谁是否要保密的问题守间关于处决谁是否要保密的问题. 监狱看守通知三个囚犯监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机在他们中要随机地选出一个处决地选出一个处决 , 而把另外两个释放而把另外两个释放. 囚犯囚犯甲请求看守秘密地告诉他甲请求看守秘密地告诉他, 另外两个囚犯中另外两个囚犯中谁将获得自由谁将获得自由. 如果你知道了你的同伙中谁将获释，如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到增加到1/2,因为你就成了剩下的两因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了个囚犯中的一个了.NO！因为我已经知道他们两人中因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的以你泄露这点消息是无妨的. 对于看守的上述理由对于看守的上述理由, 你是怎么想的你是怎么想的?解：看守说得不对解：看守说得不对. 理由如下：理由如下： 在这个问题中在这个问题中, 当情形是囚犯甲被处死当情形是囚犯甲被处死时，看守告诉要获得自由的人可以是囚犯时，看守告诉要获得自由的人可以是囚犯乙或丙，有两种情形乙或丙，有两种情形. 而当情形是囚犯乙而当情形是囚犯乙 (或丙或丙) 被处死时，看守可以告诉要获得自被处死时，看守可以告诉要获得自由的人可以是囚犯丙由的人可以是囚犯丙(或乙或乙) . 请请回答回答.如图示：如图示：情况情况囚犯的命运囚犯的命运看守说这看守说这名囚犯将名囚犯将获释获释这种情这种情况出现况出现的概率的概率甲甲乙乙丙丙乙乙丙丙丙丙乙乙被处死者被处死者甲甲甲甲乙乙丙丙1/61/61/31/3可见，不论看守泄露消息与否，可见，不论看守泄露消息与否，囚犯甲被处决的概率不变囚犯甲被处决的概率不变. .也可求解如下：也可求解如下：用用A、 B 、 C 表示表示囚犯甲、乙、丙被处决囚犯甲、乙、丙被处决, , D、 E分别表示分别表示看守告诉要获释的人是囚看守告诉要获释的人是囚犯乙犯乙和丙和丙. .已知已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/3=P(AD+AE)=2 P(AD)= 2 P(A)P(D| A)=2(1/3)(1/2)=1/3 我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率. 但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形呢？ 我们介绍了条件概率的概念，给出了我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握牢固掌握.。