差分方程 攻略

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1、时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 1 第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础， 也是分析时间序列动态属性的基本方法。 经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题， 因此， 确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 1.1 一阶差分方程 假设利用变量ty表示随着时间变量t变化的某种事件的属性或者结构，则ty便是在时间t可以观测到的数据。假设ty受到前期取值1ty和其他外生变量tw的影响，并满足下述方程： tttwyy+=110 (1.1) 在上述方程当中，由于ty仅线性地依赖前一个时间间隔自身的

2、取值1ty，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量tw是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量tw是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设tw是确定性变量。 例 1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、 实际收入、 银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为tm、tI、btr和ctr，则可以估计出美国货币需求函数为： ctbttttrrImm019. 0045. 019. 072. 027. 01+= 上述方程便是关于tm的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替

3、代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式， 可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t：01100wyy+= 1=t：10101wyy+= M M tt =：tttwyy+=110 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1 ()(wwywwyy+=+= 0111122113121102)1 (wwwyy+= M M itiittiitwyy=+=0111010 (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t

4、y表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出ty对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。 1.1.2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w的变化对t阶段以后的ty的影响。假设初始值1y和tww,1L不受到影响，则有： 时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 2 ttwy10= (1.3) 类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： jtjtwy1=+ (1.4) 上述乘子仅仅依赖参数1和时间间隔j， 并不依赖观测值的具体时间阶段， 这一点在任何差分方程中都是适用的。 例 1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的

5、货币需求函数当中， 可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即： ttttttttIwIwwmIm=+2122 利用差分方程解的具体系数，可以得到： 19. 0=ttIw，72. 01= 从而可以得到二阶乘子为： 098. 02=+ttIm 注意到上述变量均是对数形式， 因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长 1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加 0.098%，其弹性是比较微弱的。 定义 1.1 在一阶线性差分方程中， 下述乘子系列称为ty相对于外生扰动tw的反应函数： jtjtjwyL1=+，L, 1, 0=j (1.5) 显然上述反应函

6、数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1的取值。 (1) 当101时，反应函数是单调收敛的； (2) 当011时，反应函数是单调扩张的； (4) 当11时，反应函数是震荡扩张的； 可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性： 当1|1时，反应函数是发散的。 一个特殊情形是11=的情形， 这时扰动将形成持续的单一影响， 即tw的一个单位变化将导致其后任何时间jty+的一个单位变化： 1=+tjtjwyL，L, 1, 0=j 为了分析乘子的持久作用，假设时间序列ty的现值贴现系数为，则未来所有时间的ty流贴现到现在的总值为： =+0jjtjy (1.6) 如果tw发生一个单位的变化，而tsws,不变，那么

7、所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数： 时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 3 =+=+=00011/ )(jjjjtjtjjtjtjwywy，1|,也都发生一个单位的变化， 这意味着变化是持久的。 这时持久扰动对于)(jt +时刻的jty+的影响乘数是： 0111111+=+LLjjjtjttttjtwywywy (1.7) 当1|1时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： 11111)(lim=+jtjttttjtjwywywyL (1.8) 例 1.3 货币需求的长期收入弹性 在例 1.1 中我们已经获得了货币的短期需求函数， 从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：

8、68. 072. 0119. 0=ttttttdIdwdwdmdIdm 这说明收入增加 1%最终将导致货币需求增加 0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。 如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于ty以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为： =+110jtjtwy (1.9) 由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。 1.2 p阶差分方程 如果在方程当中允许ty依赖它的p阶前期值和输入变量，则可以

9、得到下述p阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)： tptptttwyyyy+=L2211 (1.10) 为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式： tttvF+=1 (1.11) 其中： =+121ptttttyyyyM，=0001000000100011321MMLMLLLMMMppF，=000Mttwv 其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程： jtjtyy=，pj, 2, 1L= 将p阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于， 它可以进行比较方便的叠代处理， 同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体

10、现在矩阵 F 的第一行上。 时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 4 进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为： ttttttvvFvFvFF+=+1111011L (1.12) 利用)(tjif表示矩阵tF中第i行、第j列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表示为： ttttptptttwwfwfwfyfyfyfy+=+1) 1(111)1(110)(11) 1(12) 1(121)1(11LL (1.13) 需要注意，在p阶差分方程的解中需要知道p个初值：),(21pyyyL，以及从时刻0开始时的所有外生变量的当前和历史数据：),(10twwwL。 由于差分方程的解具有时间

11、上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为： jtjttjtjtjjtvvFvFvFF+=11111L (1.14) 类似地，表示成为单方程形式： jtjttjtjptjptjtjjtwwfwfwfyfyfyfy+=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11LL (1.15) 利用上述表达式，可以得到p阶差分方程的动态反应乘子为： )(11jtjtjfwyL=+，L, 1, 0=j 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵jF的首个元素确定。 例 1.4 在p阶差分方程中，可以得到一次乘子为： 111)1(1111=+FfwyLtt 二次乘子为： 221211)2(1121

12、+=+FfwyLtt 虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子， 但是利用矩阵特征根表示则更为方便，主要能够更为方便地求出矩阵jF的首个位置的元素。 根据定义，矩阵F的特征根是满足下述的值： 0|=pIF (1.16) 一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。 例 1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为： 01)(21221= 具体可以求解出两个特征根为： ()22111421+=，()22112421+= (1.17) 上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。 距阵F的特征根与p阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出： 命题

13、 1.1 距阵F的特征根满足下述方程，此方程也称为p阶线性差分方程的特征方程： 012211=pppppL 证明：根据特征根的定义，可知特征根满足： 时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 5 0001000001001)(|1321=MMLMLLLMMMpppIF 对上述行列式进行初等变化，将第p列乘以)/1 (加到第1p列，然后将第1p列乘以)/1 (加到第2p列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为： 012211=pppppL 这便是所求的p阶线性差分方程的特征方程。 END 如果知道p阶线性差分方程的特征方程及其特征根， 不仅可以分析差分方程的动态反应乘

14、子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。 1.2.1 具有相异特征根的p阶线性差分方程的通解 根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根： 1=TTF，),(1pdiag L= (1.18) 这时矩阵F的乘级或者幂方矩阵可以简单地表示为： 11)(=TTTTFjjj，),(1jpjjdiagL= (1.19) 假设变量ijt和ijt分别表示矩阵T和1T的第i行、第j列元素，则可以将上述方程利用矩阵形式表示为： =pppppppjpjjppppppjttttttttttttttttttFLMLMMLLLMLMMMLLLMLM

15、MLL2122221121121212222111211000000000 从中可以获得： jppjjjpppjjjcccttttttF+=+=LL2211112211211111)(11)()()( (1.19) 其中：11jjjttc =，L, 1, 0=j，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)： 121=+pcccL (1.20) 具有上述表达式以后，在差分方程的解： jtjttjtjptjptjtjjtwwfwfwfyfyfyfy+=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11LL (1.15) 中可以得到动态乘子为： jppjjjtjtjcccfwyL+=+

16、L2211)(11，L, 1, 0=j (1.21) 究竟系数序列jc取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。 命题 1.2 如果矩阵F的特征根是相异的，则系数jc可以表示为： =pikkkipiic, 11)( (1.22) 时间序列分析方法讲义 第 1 章 差分方程 6 证明：由于假设矩阵F具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量it为： 1,21=ipipiitL，pi, 2, 1L= 其中i是矩阵F的第i个特征根。 经过运算可以得到： iiittF= 由此可知it是矩阵F的对应特征根i的特征向量， 利用每个it做列就可以得到矩阵T。将矩阵pITT=1的第一列表示出来： =0000111111 , 131211111211332312222111211MMLLMLMMLLLpppppppppppppppttttt 可以求解上述线性方程的解为： )()(11312111pt=L， )()(12321211pt=L M )()(112111=pppptL 注意到：11iiittc =，pi, 2, 1L=， 带入上述表达式即可得到结论。 END 例 1.6