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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（2）数学（理工类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共150 分。考试时间120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共40 分）注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8 小题每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
2、（ 1）设全集U=R，集合 M= x| x1，P= x| x21 ，则下列关系中正确的是（A）MP（B）PM（C）MP（ D）UMPe（ 2） “m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（ 3）若| 1,| 2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为（A） 30（B）60（ C）120（ D） 150（ 4）从原点向圆x2y212y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A）（B）2 （C）4（D）6（5）对任意的锐角 ，下列不
3、等关系中正确的是（A） sin( + )sin +sin（B）sin( + )cos +cos（C）cos( + )sin sin （D）cos( + )0；1212()()()22xxf xf xf. 当 f(x)=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是. （14）已知 n 次多项式1011( )nnnnnP xa xa xaxa, 如果在一种算法中，计算0kx（k2，3，4， , ， n）的值需要k1 次乘法，计算30()P x的值共需要9次运算（ 6 次乘法， 3 次加法），那么计算0()nP x的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法：0011( ),( )( )kkkP xa
4、PxxP xa（k0， 1，2， , ， n1） 利用该算法，计算30()P x的值共需要6 次运算，计算0()nP x的值共需要次运算第 3 页 共 10 页三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15） （本小题共13 分）已知函数f(x)=x33x2 9xa, （ I）求 f(x)的单调递减区间；（ II）若f(x)在区间 2， 2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值（16） （本小题共14 分）如图 , 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC 23，AA13，ADDC，ACBD, 垂足未 E，（ I）求证： BDA1C；（
5、 II）求二面角A 1BD C 1的大小；（ III ）求异面直线AD 与 BC 1所成角的大小（17） （本小题共13 分）甲、乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32，（ I）记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布及数学期望E ；（ II）求乙至多击中目标2 次的概率；（ III ）求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率（18） （本小题共14 分）如图，直线l1：ykx（k0）与直线l2：y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（ I）分别用不等式组表示W1和 W2；（ II）若区域W 中的动点P(x， y)到 l1
6、，l2的距离之积等于d2，4 求点 P 的轨迹 C 的方程；（ III ）设不过原点O 的直线 l 与（ II）中的曲线C 相交于 M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证 OM1M2的重心与 OM3M4的重心重合（19） （本小题共12 分）设数列 an的首项 a1=a41，且11为偶数21为奇 数4nnnanaan, 记2114nnba，n l，2，3，, （I）求 a2，a3；（II）判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III ）求123lim()nnbbbb（20） （本小题共14 分）设 f(x)是定义在 0, 1上的函数，若存在x* (0，1)，使得 f
7、(x)在0, x*上单调递增，在x* ，1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x* 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的 0，l上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（ I）证明：对任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若 f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则 (x*，1)为含峰区间；（ II）对给定的r（0r0.5） ，证明：存在x1， x2 (0，1)，满足 x2 x1 2r，使得由（ I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r；（ III ）选取 x1，x2 (0, 1)，x1x2，由（ I）可确定含峰区间为(0，x2)
8、或 (x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由 x3与 x1或 x3与 x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定 x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34. （区间长度等于区间的右端点与左端点之差）第 5 页 共 10 页2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（1） C（2）B（3） C（4）B（5）D （ 6）C （7）A（ 8）A二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（9）
9、38（10）34；71（ 11）15 （ 12）(1, e)；e（13）（14）21n(n3)；2n三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）（15） （共 13 分）解： （I） f (x) 3x26x9令 f (x)0，解得 x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（，1） ， （3，）（II）因为 f(2)81218a=2 a，f(2) 81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在（ 1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2， 2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a 2故
10、f(x)=x33x29x2，因此 f(1) 1392 7，即函数 f(x)在区间 2，2上的最小值为7（ 16） （共 14 分）（ I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面 ABCD上 的 射影BDAC BD A1C；（ II）连结 A1E，C1E，A1C1与（ I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角AD DC，A1D1C1=ADC90，又 A1D1=AD2，D1C1= DC23，AA1=3且 ACBD，6 A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E23，在 A1EC1中， A1C12A1E2C1E2，
11、A1EC190 ，即二面角A1BDC1的大小为90 （ III ）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC1，则 C1BF 就是 AD 与 BC1所成的角ABAD2， BDAC，AE 1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=7，BC115，在 BFC1 中，1154715cos51 215C BF, C1BF=15arccos5即异面直线AD 与 BC1所成角的大小为15arccos5第 7 页 共 10 页（17） （共 13 分）解： （I）P( 0)03311()28C，P( 1)13313()28C，P( 2)23313( )28C，8 P( 3)33311(
12、)28C， 的概率分布如下表：E 133101231.58888, （或 E =321=1.5） ；（ II）乙至多击中目标2 次的概率为13332()3C=1927；（ III ）设甲恰比乙多击中目标2 次为事件A，甲恰击中目标2 次且乙恰击中目标0 次为事件B1，甲恰击中目标3 次且乙恰击中目标1 次为事件B2，则 AB1B2，B1，B2为互斥事件12311 21( )()()8 278 924P AP BP B所以，甲恰好比乙多击中目标2 次的概率为124. （18） （共 14 分）解： （I）W1=( x, y)| kxykx, x0 ，W2=( x, y)| kxy0 ，（II）直
13、线 l1：kxy0，直线 l2：kxy0，由题意得222| |11kxykxydkk, 即22222|1k xydk，由 P(x, y)W，知 k2x2y20，所以222221k xydk，即22222(1)0k xykd, 所以动点P的轨迹 C 的方程为22222(1)0k xykd；（ III ）当直线l 与 x轴垂直时，可设直线l 的方程为 xa（a0） 由于直线l，曲线 C 关于 x 轴对称，且l1与 l2关于 x 轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0） ，所以 OM1M2， OM3M4的重心坐标都为（32a，0） ，即它们的重心重合，当直线 l1与 x 轴不垂直时，设
14、直线l 的方程为y=mx+n（n0） 由22222(1)0k xykdymxn，得2222222()20kmxmnxnk dd由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知k2m20 且0 1 2 3 P81838381第 9 页 共 10 页=2222222(2)4()()mnkmnk dd0 设 M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则12222mnxxkm, 1212()2yym xxn, 设 M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，由及ykxykxymxnymxn得34,nnxxkmkm从而3412222mnxxxxkm，所以 y3+y4=m(x3+
15、x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是 OM1M2的重心与 OM3M4的重心也重合（19） （共 12 分）解： （I）a2a1+41=a+41，a3=21a2=21a+81；（II）a4=a3+41=21a+83, 所以 a5=21a4=41a+316, 所以 b1=a141=a41, b2=a341=21(a41), b3=a541=41(a41), 猜想： bn是公比为21的等比数列 证明如下：因为 bn+1a2n+141=21a2n41=21(a2n141)=21bn, (n N*) 所以 bn 是首项为a41, 公比为21的等比数列 （III ）11121(1)12li
16、m()lim2()1141122nnnnbbbbba. （20） （共 14 分）（I）证明：设x*为 f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0, x* 上单调递增，在x*, 1 上单调递减当 f(x1)f(x2)时，假设x*(0, x2)，则 x1x2f(x1)，这与 f(x1)f(x2)矛盾，所以x* (0, x2)，即 (0, x2)是含峰区间 . 当 f(x1)f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则 x* x1f(x2)，10 这与 f(x1)f(x2)矛盾，所以x* (x1, 1)，即 (x1, 1)是含峰区间 . （ II）证明：由（I）的结论可知：当 f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l1x2；当 f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1x1；对于上述两种情况，由题意得210.510.5xrxr由得1x2x11+2r，即 x1x12r. 又因为 x2x12r，所以 x2x1=2r, 将代入得x10.5r, x20.5r，由和解得x10.5r， x20.5r所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于
