函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大（小）值设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值二）考点分析考点1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性（同增异减）例1．（1）求函数的单调区间；例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．解：（1）令，得，∴，令，得∴，∴，∴是偶函数．（2）设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数．（3），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴，解得：，即不等式的解集为．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；例2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；考点2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围题型1：求分式函数的最值例1．（2007上海）已知函数当时，求函数的最小值函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式, ，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3．函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”如设是定义域为R的任一函数， ，4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．（二）考点分析考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1． 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）题型2：证明抽象函数的奇偶性例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数； [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0∴ f (－x) =－f (x)∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数例2．（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用例1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
[解析] 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是例2．设函数对于任意的，都有，且时,（1）求证是奇函数；（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)3a2－2a+1.解之，得0
2．周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；②函数满足，则是周期为2的周期函数；③若恒成立，则；④若恒成立，则.（二）考点分析考点2函数的周期性例1．设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1 .（09年江苏题改编）定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 ________ [解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以例2．已知函数的定义域为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。