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1、2003年考研数学（一）试题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） = .【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.【详解1】 =,而 ，故 原式=【详解2】 因为 ，所以 原式=【评注】 本题属常规题型.（2） 曲面与平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.【详解】 令 ，则， .设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相应地有 故所求的切平面方程为 ，即 .【评注】 本题属基本题型.（3
2、） 设，则= 1 .【分析】 将展开为余弦级数，其系数计算公式为.【详解】 根据余弦级数的定义，有 = = =1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从的基到基的过渡矩阵为 .【分析】 n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足=P，因此过渡矩阵P为：P=.【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为P=. =【评注】 本题属基本题型.（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则 .【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积分=进行计算.【详解】 由题设，有 = y 1 D O 1 x【
3、评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D，再在其上积分即可. （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值【分析】 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据，由确定临界值，进而确定相应的置信区间.【详解】 由题设，可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据 ，有，即 ，故的置信度为0.95的置信区间是 .【评注】 本题属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出
4、的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. C y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两
5、个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题.（2）设均为非负数列，且,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. D 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取
6、，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. A 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由知
7、，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 充分小时），于是可见当y=x且充分小时，；而当y= -x且充分小时，. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。（4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. D 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I
8、：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如，则，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩
9、(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不
10、同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定义知，其中，再将其代入，然后利用F分布的定义即可.【详解】 由题设知，其中，于是=，这里，根据F分布的定义知故应选(C).【评注】 本题综合考查了t分布、分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋
11、转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为，则曲线y=lnx在点处的切线方程是 由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为 平面图形D的面积 （2） 切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 ，因此所求旋转体的体积为 y 1 D O 1 e x【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析.四 、（本题满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.【分析】 幂级数展
12、开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数的幂级数展开即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为又f(0)=, 所以 =因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以 令，得 ,再由，得 五 、（本题满分10分）已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ;(2) 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边= =， 右边= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根据格林公式，得，.因为D 具有轮换对称性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用轮换对称性） =【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第
