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1、向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何如同平面解析几何那样，空间解析几何是通过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研究空间几何问题，而这又是学习微积分的基础。1 向量及其线性运算 一.向量的概念1.数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的记法：用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如4.向量的模：即向量的大小，用顺序写出始点和终点的记法，如特
2、殊情形：单位向量：模等于1；零向量：模等于0，记为0，其方向可以是任意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a.的模记为而其属性不变，本章中只研究自由向量。5.自由向量：与始点位置无关的向量，可以对其进行平移1.向量的加法：（即向量的合成，可参照力的合成法则） 定义：将a、b的始点放在一起，以a、b 为邻边作平行四边形，则从始点到对角顶点的向量称a、b 的和，记a+b（称平行四边形法则）。aba+b称为平行向量，也称为共线，易知其方向相同或相反。若a与b在同一条直线上或在两条平行直线上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向相同，记a=b.二.向量的线性运算： 平行向量的和：当a与
3、b方向相同时，其和向量的模等于两向量模之和，其方向与a、b 方向相同；当a与b方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方向与a、b 中模较大的向量的方向相同； 运算律： 1）交换律：a+b=b+a 2）结合律：（a+b）+c= a+(b+c)三角形法则：向量的加法还可以使用三角形法则，如图： 特殊情况： a+0 = a ； a +（- a ）= 0.aba+b2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+（-b），可使用三角形法则求出，如图：aba-b3.向量与数的乘法： 定义：向量a与数的乘积仍为一向量，记为a. 其模： 其方向：当0时与a相同，当0时与a相反， =0时为零向 量；特别
4、：1 a= a，（-1） a= - a. 两个非零向量平行充要条件：存在0，使a= b. 非零向量单位化：设a 0，与a同向的单位向量记为ao，易知ao=运算律： 结合律：(a)=( a )=() a 分配律：（+） a = a + a ；（ a + b)= a + b=a,三.向量在轴上的投影 1.两非零向量的夹角：设a 、b0，将其始点移至 同一点O，设=b,则规定向量与之间不超过的夹角为向量a 与b之间的夹角，记作（ a ,b),或（ b， a).如图：BabAO类似地可规定向量与一坐标轴的夹角或空间两轴的夹角.2.向量在轴上的投影： 点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，则与u的交点A
5、称为A在轴u上的投影. 如图：AA 向量在轴上的投影：设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则x2-x1称为向量 在x轴的投影，记作 同样令 分别为x轴上的单位向量，则有或将投影 ， 分别叫做向量 的坐标再设C点的坐标 ，则 不难证明即和的投影等于投影的和一般地有： 个向量之和在 轴上的投影等于各个向量在 轴上投影之和注：相等向量在同一轴上的投影相等。 易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝 角时投影为 负；成直角时投影为0.BAAuBB”u3.关于向量投影的定理： 定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。其中=即 任何一个向量可在坐标轴上的分解，即
6、任何一个向量可在坐标轴上的分解，即分别称为分别称为 在在 轴，轴， 轴上的向量轴上的向量称为投影，或坐标，或数量称为投影，或坐标，或数量m 若已知向量的坐标若已知向量的坐标 ,则向量的大小和则向量的大小和 方向就被确定由方向就被确定由 可得可得称为称为 的方向余弦的方向余弦定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积总之，我们将数量和向量这一对矛盾统一在 之中2 空间直角坐标系与向量的坐标一.空间直角坐标系： 1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴（分别称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手法则排列）所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为Oxyz。其中以
7、三坐标轴正向确定的称第卦限，按逆时针方向依次称第、卦限，第卦限下面称第卦限，再按逆时针方向依次称第、卦限。3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，则称M点的在该空间坐标系中的坐标为（x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整个空间分为八个部分，每个部分称为一个卦限，OQPzyxMR坐标平面：xOy面上
8、为（x,y,0)，yOz面上为（0,y,z)，zOx上为 （x,0,z)； 坐标卦限：在第卦限中的点的坐标的符号依次为(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。4.坐标特征：点的坐标有以下特征：坐标原点：（0,0,0）；坐标轴：x轴上为（x,0,0)，y轴上为（0,y,0)，z轴上为（0,0,z)； 也可记为二.向量的坐标：1.基本单位向量：此向量的坐标为为点M的向径，称向量设有空间中点M（x,y,z)， 2.点M的向径的坐标：分别记为i、j、k.正向相同的三
9、个单位向量与x轴、y轴、z轴5.向量线性运算的坐标（代数）表示：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中两点，3.向量的坐标：易知：=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐标分别为1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐标：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,从中消去得其中若上式中某个分母为0，则其分子也为0.6.两向量平行的充要条件：我们已知两向量a与b平行的充要条件是a= b,
10、即两向量平行的充要条件是其坐标对应成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 已知两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模与方向余弦的坐标表示： 1.模：其余弦称为该向量的方向余弦。设有空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，2.方向余弦：称a与三坐标轴正向的夹角、为该向量的方向角，易知3.方向余弦的性质：4.两点之间距离公式：则此两点之间的距离为向量的乘积投影形式：一.向量的数量积：两个向量a与b
11、的数量积等于1.数量积的定义：又称数积、内积、点积，其值为一个数量。及其夹角余弦的乘积， ab=b a aa=a2=|a|2 2.数量积的性质：故有 ab= |a| prjaa同理，有 ab= |b| Prjba易知|b|cos= |b|cos（a,b)为b在a上的投影，即ab= |a| |b|cos，记为ab，两个向量的模|a|、|b|3.数量积的坐标表示：推论：非零向量a 、b垂直的充要条件是：(a+b)c=a c+b ca b=0ab (当a、b非零时）(a b)=(a) b=a (b)a b =axbx+ayby+azbz 设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk
12、,则有由 ab= |a| |b|cos，可得夹角余弦的坐标表达式axbx+ayby+azbz=0；例1 已知三点M（1，1，1），A（2，2，1），和 B（2，1，2）求 例2 在xoy平面上找一单位向量，使它与向量 垂直解：设在xoy面上所找的向量为则 即 解得例4 设 是单位向量，解： 因构成一个等边三角形且所以所以且求且 例例3 求与向量a=2i-j+2k共线且满足ax=-18的向量x.则称c为a,b的向量积，记为c=ab, 又称为叉积或矢量积.解解：因为a与x共线，则必存在0，使二.向量的向量积：1.向量积的定义：设有向量a,b，定义c如下：所以 = -2 x=-4,2,-4 x= a
13、=2 ,- ,2 ,又ax= -18,即 4 + +4 =-18c的方向由a,b按右手法则确定， c的模|c|=|a|b|sin； (其中为a,b的夹角）注： ab是一个向量；而且其特征为方向与a与b都垂直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。即 2.向量积的性质： aa=0; 3.坐标表示：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 ab =（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k向量的叉乘积不满足交换律向量的叉乘积不满足交换律两个非零向量a与b互相平行的充要条件是ab=0(ab)=a (b)= (a) b(a+b) c=a
14、c+b c ba=- ab推论：向量a与b平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0上式说明：两非零向量平行对应坐标成比例；例例2 求与两向量a=2,3,-1和b=-3，-1，1都垂直的单位向量。C=2i+j+7k再将c单位化得：co=解解：显然，c=ab与两向量都垂直，先求 c:上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。例 求一向量，使得此向量与三个点M1（3，0，2） ， M2（5，3，1）， M3（0，-1，3）所在平面垂直。解： 设所求向量为 ，因为所求向量与三个点所在平面垂直，求 的面积。所以例2 求证证n0为单位向量4 曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1
15、)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。1.曲面方程的一般概念：而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)一.曲面及其方程： 都满足方程F(x,y,z)=0，解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c坐标平面xOy的方程：z=0 3
16、. 球面方程： 球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为： 平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。 若柱面的母线平行于z轴，4.母线平行于坐标轴的柱面方程：此时有以下结论：本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。定曲线c称为柱面的准线。其中直线l称为柱面的母线，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。同理，则该柱面的方程为F(x,y)=0;其方程为F(x,y)=0，准线c是xOy面上的一条曲线，圆柱面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a
