中考数学复习考点解密第五讲化归思想【专题精讲】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种木质认识，数学方法是实 施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓 住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在.因此，在复 习吋要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想 方法解决问题的意识.【解题策略】所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程， 将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待 定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.【解法精讲】化归思想是初中数学中常用的一种重耍数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万 能方法”他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题； 其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解考点精讲】考点类型一：方程类例题1： （2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）AB第一次30403800第二次40303200（1） 求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2） 簡场决定A种陷j品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售.为满足市场需求，需 购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获 利最大的进货方案，并确定最大利润.【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于X、y的二元一次方程组，解Z即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000・m）件，根据总利 润二单件利润X购进数量，即可得出、v与m之间的函数关系式，由A种簡品的数量不少于B种 商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据 一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元,根据题意得:30^40y=380040 廿 30尸 3200答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元.（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000 ・m）件,根据题意得:w= (30 - 20) (1000 -m) + (100 - 80) m=10m+10000.・・・/\种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,解得：mW200・・・•在 w=10m+10000 中，k=10>0,・・・w的值随m的增大而增大，・••当m二200时，w取最大值,最大值为10X200+10000=12000,・•・当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元.【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题 的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出\v与ni之间 的函数关系式.考点类型二：代数转化几何类例题2： （2017内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔 尖点D的仰角为45° ,再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔 底点E的仰角为30° ,求塔ED的高度.（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】先求tBZDBE=30° , ZBDE=30° ,得出 BE二DE,然后设 EC二x,则 BE二2x, DE=2x, DC二3x,BO曲x,然后根据ZDAC=45° ,可得AC二CD,列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高 度.【解答】解：由题知，ZDBC=60° , ZEBC=30° ,A ZDBE=ZDBC - ZEBC=60° - 30° =30° .又 V ZBCD=90° ,・・・ZBDC二90° ・ ZDBC=90° ・ 60° 二30° ・・・・ZDBE 二 ZBDE.・・・BE二DE.设 EC=x,则 DE二BE二2EC二2x, DC二EC+DE二x+2x二3x,bc=VbB2-*cM (2x)2-t2=V3x，由题知，ZDAC=45° , ZDCA=90° , AB二20,•••△ACD为等腰直角三角形，・・・AC二DC.x/^x+60二3x,解得：x=30+10 答：塔高约为30+10爲m.考点类型三：四边形转化三角形类：例题3：如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB二AC二10, BC二12,沿底边BC上的高AD剪成两个 三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是—10cm,【考点】PC：图形的剪拼.【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对 角线的长.【解答】解：如图:过点A作AD丄BC于点D,V AABC 边 AB二AOlOcm, BC=12cm,・・・ BD 二 DC 二 6cm,AAD=8cm,如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其対角线长为：10cm,如图②所示：AD二8cm,连接BC,过点C作CE丄BD于点E,则 EC二8cm, BE=2BD=12cm,则 BC=4 \/13cnb如图③所示：BD二6cm,由题意可得:AE=6cm, EC=2BE=16cm,故唇丄6霓2V^cm,故答案为：10cm, 2炳cm, 4近^cm.考点类型四例题4：几何转化为代数类例题：（2017浙江义乌）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图•该 图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ZACF=ZAFC, ZFAE=Z FEA.若ZACB=21° ,则 ZECD 的度数是（ ）B CA. 7° B. 21° C. 23° D. 24°【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质.【分析】由矩形的性质得tUZD=90° , AB〃CD, AD〃BC,证出ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° , 由三角形的外角性质得出ZACF=2ZFEA,设ZECD=x,则ZACF=2x, ZACD=3x,在RtZkACD中, 由互余两角关系得出方程，解方程即可.【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，.\ZD=90° , AB〃CD, AD//BC,.\ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° ,VZACF=ZAFC, ZFAE二ZFEA,・•・ ZACF=2ZFEA,设 ZECD二x,则 ZACF=2x,・・・ZACD二3x,在 RtAACD 中，3x+21° =90° ,解得：x=23° ；故选：C.【真题演练】A.・1或3 B.・1 C. 3 D. 1或・3【考点】B3：解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：3=x2+x - 3x,解得：x=・1或x=3,经检验x二・1是增根，分式方程的根为x=3,故选C2. （2017江苏徐州）（1）解方程：-二一?r（2）解不等式组：jyH想T •【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组.【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可 得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.【解答】解：（1） 2二一?T，z xfl去分母得：2 （x+1） =3x,解得：x=2,经检验x=2是分式方程的解，故原方程的解为x二2；由①得：x>0；由②得：x<5,故不等式组的解集为0Vx<5.3. （2017齐齐哈尔）已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象C【考点】F3： —次函数的图象；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质.【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于笫三 边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可.【解答】解：市题意得，2x+y二10,所以,y= - 2x+10,由三角形的三边关系得,2z>-2x+10(D0) V解不等式①得，x>2.5,解不等式②的，x<5,所以，不等式组的解集是2.5