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1、第一章导数及其应用1.4生活中的优生问题举例A 级基础巩固一、选择题1圆的面积 S 关于半径 r 的函数是 Sr2，那么在 r4 时面积的变化率是 ()A8B12C8 D12解析：因为 S2r，所以 S(4)248.答案： C2把长度为 8 的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为()A2B4C 8D以上都不对解析：设矩形的长为 x，则宽为 82x4x，2所以矩形面积为Sx(4x) x2 4x，所以 S 2x4，令 S0，得 x2，所以矩形的最大面积为S2(42)4.答案： B3某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如1328(0x5)，那果第 x 小时，原油温度 (单位：
2、 )为 f(x)3x x么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()20A8 B. 3 C 1 D 8解析： 原油温度的瞬时变化率为f(x) x2 2x (x 1)2 1(0x5)，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案： C4设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ()3333A. VB. 2VC. 4VD2 V解析：设底面边长为 x，则表面积 S3 243V， 2 xx(x 0)S333 x2(x 4V)令 S0，得唯一极值点 x4V.答案： C5要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为 ()3103A.3cmB.3cm16
3、3203C.3cmD.3cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为202 x2，其体积为 V11 2)，令 V0，解得 x2032)，0x20，V 3.3x(400x3(400 3x20 3当 0x 3 时， V 0；20 3当 3 x20 时， V0，20 3所以当 x3时， V 取最大值答案： D二、填空题6某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润 (单位：万元 )分别为 L1 5.06x0.15x2 和 L2 2x，其中 x 为销售量 (单位：辆)，若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为 _解析：设甲地销售 x 辆，则乙地销售 (15x)辆则总利润 L5.06x0.15x22
4、(15x) 0.15x2306x30(x 0)令 L 0.3x3.060，得 x 10.2.所以当 x 10 时，L 有最大值 45.6.答案： 45.6 万元7内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为_解析：设圆锥高为 h，底面半径为 r，则 R2(hR)2 r2，所以r2 2Rhh2，12222 34 2所以 V h ) 3h， V3rh3h(2Rh3Rh3Rh h .4令 V0，得 h3R.当 0h4时， ；当4R时，因此当43RV03 h2RV0.h3R时，圆锥体积最大4答案： 3R8某公司一年购买某种货物400 吨，每次购买 x 吨，运费为 4万元 /次，一年的总存储费为 4x 万
5、元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x_400解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则 n x ，1 600所以总运费与总存储费之和(单位：万元 )f(x)4n4xx1 6004x，f(x)4x2 ，令 f(x)0，解得 x20(20 舍去 )，当 0x20时， f(x)0，当 200.所以 x20 是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x20时，运费与总存储费之和最小答案： 20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的 B 处，乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km.两厂要在此岸边A，
6、D 之间合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和 5a 元，则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省？解：设 C 点距 D 点 xkm，则 AC50x(km) ，所以 BCBD2 CD2x2402(km)又设总的水管费用为y 元，依题意，得 y3a(50x) 5ax2402(0x50)5axy 3ax2402.令 y0，解得 x30.在(0，50)上，y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在 x 30 km 处取得最小值，此时 AC50 x20(km)故供水站建在 A， D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省10.一个帐篷，它下部的形状是高为1
7、 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图 )问当帐篷的顶点O 到底面中心O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1 为 x m(1x 4)，底面正六边形的面积为 S m 2，帐篷的体积为 V m3.则由题设可得正六棱锥底面边长为32（ x1） 2822xx2(m)，于是底面正六边形的面积为S6 43(82xx2)23 2 3(82xx2)(m2)，所以帐篷的体积为V 133 2 3(8 2xx2)(x 1) 32 3(8 2x x2) 32 3(8 2xx2) 13（ x1） 1 23(1612x x3)(m3)，求导数，得 V 23(123x2)令 V0，
8、解得 x 2(舍去 )或 x 2.当 1x2 时， V 0；当 2x4 时， V0， y x24(2 x)(2 x)，令 y0，解得x2，所以 x(0，2)时， y 0，x(2，)时， y0)3 96 所以 y250x x2 .令 y0，解得 x20.因为当 x(0，20)时， y0，此时函数单调递增，所以当 x20 时， y 取得最小值，即此轮船以 20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小答案： 203时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套 )与销售价格x(单位：元 /套)满足的关系式yxm24(x6)
9、2，其中 2x6，m 为常数已知销售价格为4 元/套时，每日可售出套题 21 千套(1)求 m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2 元 (只考虑销售出的套数 )，试确定销售价格 x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 (保留 1 位小数 )解： (1)因为 x4 时， y21，代入关系式 yxm24(x6)2，得 m21621，解得 m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量yx1024(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x) (x 2)10 4（x 6）2 10 4(x 6)2(x 2) 4x3 x256x2240x278(2x6)，从而 f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数 f(x)单调递增；在10，6上， f(x)0，函数 f(x)单调递减，310所以 x 3 是函数 f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，10所以当 x 3 3.3 时，函数 f(x)取得最大值故当销售价格为3.3 元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大
