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1、 解析几何经典例题 解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3
2、，AB为抛物线的一条弦，|AB|4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y1的最短距离。图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”l，BB”l，MM”l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B
3、. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|QP|2|OP|故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。图5解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|， 即 故P 的轨迹为A （7，0）
4、、B （7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故点Q 的轨迹为以A （7，0）、B （7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。练习1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且，则e _。答案：2. 已知O ：，一动抛物线过A （1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。答案：圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存
5、在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为(2)y k
6、 x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ?=-+?=-?可得,22210y y kb +-+=. 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, 244(21)0,k kb =-+即 2120k kb -+.设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +=-, 212()()2y y x k km k k km k km +=-+=-+=+, 点G(00,x y )在直线l 上, k -=2(2)k kkm +-, 由 0k 可得,21k m k-=, 212k
7、k -+21k k-0, 21k (0k ) , 10k -, 0k , 点P 在y 轴的右侧, 2x k =,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为,所以=21y x =-,由2x 知,3,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于的关系.解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA =可知,22(,)(1,0)x y -=11(,)(1,0)x y -, 211(1)x x -=-,21y y = , 211x x =-+, 2221x x =,
8、2211(1)x x -= 1, 211210x x -+-=,方法(一) 1212x =3),11(3)ax =, a(13-(1,13?+. 方法(二)211(1)x -=, (3), 1103, 021(1)x -13且11133x -,过点M (0,)m 且倾斜角为(02)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值;（2）若点M 分AB 所成的比为,求关于的函数关系式.分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M(0,)m 且倾斜角为(02)的直线的方程为y kx m =+.由方程组22y k
9、x m x py =+?=?，消去y 整理得2220x pkx pm -=, 则122x x pm =-, 212x x p =-, 2pm -2p =-, 2p m =. 分析: 由2pm=可知过点M (0,)m 且倾斜角为(02)的直线为2py kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于的函数关系式. 解(2): 关于的函数关系式, AM MB =, 1122(0,)(,)(,)(0,)22p p x y x y -=-, 1212,(),22x x p p y y =-?-=-?由(1)可知212122,x x pk x x p +=-,由方程组1212212,2,x x x
10、x pk x x p ?=-?+=?=-?可消去12,x x p 得,222(21)10k -+=. 02, 1的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OMON ?=cot MON 0(O 为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0
11、)的张角OGP 最大, 求点G的坐标.解(1): 设点)y ,x (G (y 0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(-)则11333x yxy -=，, 1333x x y =+=1，y ,OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y +=（）(0y ).(2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆22112x y +=（）的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆22112x y +=（）的短轴的端点重合时张角OGP 最大. 方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.在MOP ?中,21222212r r OP r r OGP COS -+=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r -+=21212224)22(r r r r -=2142r r +-4)(42221r r +- (当且仅当21r r =时,等于号成立)=0 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP 最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y +=（）平移到中心在原
