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1、 数学解析几何经典例题附带答案 数学解析几何经典例题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线x 22y 211的焦点坐标是( ) A (1,0)，(1,0) B (0,1)，(0，1)C (3，0)，(3，0)D (0，3)，(0，3)解析： c 2a 2b 221，c 3.焦点为(3，0)，(3，0)，选C.答案： C2“a 1”是“直线x y 0和直线 x ay 0互相垂直”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析： 当a 1时，直线x y 0与直线x y 0垂直成立；当直线x
2、 y 0与直线x ay 0垂直时，a 1.所以“a 1”是“直线x y 0与直线x ay 0互相垂直”的充要条件答案： C3(2010福建卷)以抛物线y 24x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A x 2y 22x 0B x 2y 2x 0C x 2y 2x 0D x 2y 22x 0解析： 抛物线y 24x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r 12021，所以圆的方程为(x 1)2y 21，即x 2y 22x 0，故选D.答案： D4方程mx 2y 21所表示的所有可能的曲线是( )A 椭圆、双曲线、圆B 椭圆、双曲线、抛物线C 两条直线、椭
3、圆、圆、双曲线D 两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m 1时，方程为x 2y 21，表示圆；当m 0且m 1时，方程表示椭圆；当m 0时，方程表示两条直线答案： C5直线2x y 20绕它与y 轴的交点逆时针旋转2所得的直线方程是( ) A x 2y 40 B x 2y 40C x 2y 40D x 2y 40解析： 由题意知所求直线与直线2x y 20垂直又2x y 20与y 轴交点为(0，2)故所求直线方程为y 212(x 0)， 即x 2y 40.答案： D6直线x 2y 30与圆C ：(x 2)2(y 3)29交于E 、F 两点，则ECF 的面积为( )A.32B.34C 2
4、 5 D.355解析： 圆心(2，3)到EF 的距离d |263|5 5. 又|EF |2954，S ECF 12452 5. 答案： C 7若点P (2,0)到双曲线x 2a 2y 2b21的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C 2 2D 2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ay 0，故点P 到直线的距离d 2b a 2b22?a b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e 1?b a 2 2.答案： A8过点M (1,2)的直线l 将圆(x 2)2y 29分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A x 1B y 1C x y 10D x 2y
5、 30解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，k OM 20122. 直线l 的斜率k 12， l 的方程为y 212(x 1)， 即x 2y 30.答案： D9已知a b 0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2y 2b 21和x 2a 2y 2b21的离心率，则lg e 1lg e 2的值( )A 大于0且小于1B 大于1C 小于0D 等于0解析： 由题意，得e 1a 2b 2a ，e 2a 2b 2a (a b 0)， e 1e 2a 4b 4a 21b 4a4a 4b 4a 210已知A (3,8)和B (2,2
6、)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A (1,0)B (1,0)C.?225，0D.?0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B (2，2)，连接AB ，易求得直线AB 的方程为2x y 20，它与x 轴交点M (1,0)即为所求答案： B11已知椭圆x 216y 291的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B 3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a 4，b 3，c 7F 1MF 20)的焦点F 的直线l 与抛
7、物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB ，BA BC 48，则抛物线的方程为( )A y 28xB y 24xC y 216xD y 242x解析： 由AF FB 及|AF |AC |知在Rt ACB 中，CBF 30，|DF |p 2p 2p ， AC 2p ，BC 23p ，BA BC 4p 23p cos 3048，p 2. 抛物线方程为y 24x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上) 13若抛物线y 22px 的焦点与双曲线x 2y 231的右焦点重合，则p 的值为_
8、解析： 双曲线x 2y 231的右焦点为(2,0)， 由题意，p 22，p 4.答案： 414两圆(x 1)2(y 1)2r 2和(x 2)2(y 2)2R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为_解析： 两圆的圆心分别为(1,1)，(2，2)，两圆连心线的方程为y x .两圆的连心线垂直平分公共弦，P (1,2)，Q 关于直线y x 对称，Q (2，1)答案： (2，1)15设M 是椭圆x 24y 231上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1MA 2的最小值等于_解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1(2x 0，y 0)，MA 2(2x
9、0，y 0)?MA 1MA 2x 20y 204x 20?334x 20414x 201， 显然当x 00时，MA 1MA 2取最小值为1.答案： 116已知双曲线x 216y 291的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则PF 1F 2的面积为_解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO PF 2，故PF 2F 190.a 4，b 3，c 5，|F 1F 2|10，|PF 1|8|PF 2|.由|PF 1|2|PF 2|2|F 1F 2|2得(8|PF 2|)2|PF 2|2100，|PF 2|94，S PF 1F 212|F 1F 2|PF 2
10、|454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)双曲线的两条渐近线方程为x y 0和x y 0，直线2x y 30与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |5，求此双曲线的方程解析： 双曲线渐近线为x y 0，双曲线为等轴双曲线设双曲线方程为x 2y 2m (m 0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由?2x y 30，x 2y 2m ， 得3x 212x m 90，则x 1x 24，x 1x 2m 93. 又|AB |2(x 1x 2)2(y 1y 2)2(x 1x 2)2(2x
11、 13)(2x 23)2(x 1x 2)24(x 1x 2)25(x 1x 2)25(x 1x 2)24x 1x 2， (5)25?424? ?m 93， 解得m 94. 故双曲线的方程为x 2y 294. 18(12分)已知圆C 的方程为(x m )2(y m 4)22.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)解析： (1)设C (x ，y )，则?x m ，y 4m .消去m ，得y 4x ，圆心C 的轨迹方程为x y 40.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x y 40垂直，直线OC 的方程为x y 0. 由?x y 40，x y 0
12、，得x y 2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，m 2.圆C 的方程为(x 2)2(y 2)22.其一般方程为x 2y 24x 4y 60.19(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x 2)2(y 1)2203，椭圆C 2的方程为x 2a 2y 2b 21(a b 0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)A 、B 在椭圆上，b 2x 21a 2y 21a 2b 2，b 2x 22a 2y 22a 2b 2. b 2(x 2x 1)(x 2x 1)a 2(y 2y 1)(y 2y 1)0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，x 2x 14，y 2y 12，k AB b 2(x 2x 1)a 2(y 2y 1)2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，b 2a 21e 212， k AB 2b 2a21， 直线AB 的方程为y 11(x 2)，即x y 30.由(x 2)2(y 1)2203和x y 30得 A ?2103，1103. 代入椭圆方程得：a 216，b 28，椭圆方程为：x 216y 28
