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1、1 / 7 金版学案 2014-2015 学年高中数学 4.2 用数学归纳法证明不等式同步检测试题新人教 A版选修 4-5 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !1用数学归纳法证明1错误 ! 错误 ! 错误 ! n时, 由nk不等式成立 , 推证nk1 时, 左边应增加的项数是 A2k1 B 2k1 C 2k D 2k1 答案： C2当n1,2,3,4,5,6时, 比较 2n与n2的大小并猜想 An1 时,2nn2 B n3 时,2nn2Cn4 时,2nn2 D n5 时,2nn2答案： D3用数学归纳法证明2nnn2,则应第一步验证n_. 答案： 54用数学归纳法证明错误 ! 错误 ! 错误
2、! 错误 ! 错误 ! , 假设nk时不等式成立 , 当nk1 时, 应推证的目标不等式是_答案： 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !2 / 7 5关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是 AnN* B n4Cn4 D n1 或n4 答案： D6用数学归纳法证明：1错误 !错误 ! 错误 ! 2错误 ! 证明： 当n1 时, 左边 1, 右边 2, 左边右边 , 不等式成立假设当nk时, 不等式成立 , 即1错误 !错误 ! 错误 ! 2错误 ! , 则nk1 时 , 1错误 !错误 ! 错误 ! 错误 ! 2错误 !错误 !错误 ! 错误 !
3、2错误 !. 所以当nk1 时, 不等式也成立根据 和可知 , 不等式对任何nN*都成立7设数列 an 满足an 1a错误 ! nan1,nN*. 当a12 时, 求a2,a3,a4, 并由此猜想an的一个通项公式当a13 时, 证明对所有n1, 有：ann2；错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! . 解析： 由a12, 得a23,a34,a45, 猜想ann1. 当n 1 时,a131 2, 不等式成立假设当nk时, 不等式成立 , 即akk2, 当nk 1 时,ak1a错误 ! kak1ak112k5k3. 3 / 7 即ak1 2, 因此不等式成立ann2 对于nN*都成立由an1a错
4、误 ! nan1 及知：当k2时,aka错误 ! ak11 ak11ak112ak11, ak12即错误 ! 2. ak12k1, 错误 ! 错误 ! 错误 ! ,错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! .错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !8证明： 1 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 证明： 当n1 时, 左边 1, 右边 错误 ! 1, 左边右边即命题成立假设nk时, 命题成立 , 即： 1错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! . 则当nk1 时, 要证明1错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! , 只要证 错误 ! 错误
5、!错误 ! . 错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 !错误 ! 0, 错误 ! 错误 ! 错误 ! 成立 , 即 1错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 成立nk1 时, 命题成立 , 根据 、可知 , 对一切nN*命题都成立9 等差数列 an中 ,a11, 前n项和为Sn, 等比数列 bn各项均为正数,b12, 且s2b27,S4b32. 4 / 7 求an与bn；设 错误 ! ,Tnc1c2c3, 求证：Tn 错误 !解析： 设等差数列 an 的公差为d, 等比数列 bn 的公比为q, 由题知：s2b2 7,s4b32, d2q5,3dq210, 解得q2 或q
6、 8,d1；an1n,bn2n. 证明： 错误 ! , 错误 ! . Tn 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! . 下面用数学归纳法证明Tn错误 ! 对一切正整数成立当n1 时 ,T1错误 ! 错误 ! , 命 题成立假设当nk时命题成立 , Tk错误 ! , 则当nk 1 时, Tk1Tk错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 ! , 这就是说当nk1 时命题成立 , 综上所述 , 原命题成立10已知数列 bn是等差数列 , 且b11,b1b2b3b10100. 求数列 bn 的通项bn；设数列 an 的通项为anlg 错误 ! , 设Sn是数列 an的前n
7、项和 , 试比较Sn与错误 ! lg bn1的大小 , 并证明你的结论分析： 本题除了考查有关数列的知识之外, 在比较大小时还可进行归纳、猜想, 然后用数学归纳法进行证明解 析： 由b11,S10100 得d2, 所以bn2n1. 由bn2n1 得：5 / 7 Sn lglg 错误 ! lg 错误 !lg 错误 ! , 错误 ! lg bn 1lg 错误 ! , 要比较Sn与错误 ! lg bn1的大小可先比较错误 ! 错误 !与错误 ! 的大小当n1 时,错误 ! , 当n2 时,错误 ! 错误 ! , 猜想 错误 ! 错误 ! 错误 !以下用数学归纳法进行证明：n1 时成立假设当nk时成立
8、 , 即错误 ! 错误 ! 错误 ! , 当nk1 时 , 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! , 错误 !22 错误 ! 0, 错误 ! 错误 ! , 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 ! , 当nk1 时也成立由可知 式对任何正整数都成立Sn错误 ! lg bn1.11已知函数frxxr0的最小值为f, 其中r为有理数 , 且0r1, 证明命题；设a10,a20,b1,b2为正有理数 , 若b1b21, 则ab11ab22a1b1a2b2；请将 中的命题推广到一般形式, 并用数学归纳法证明你所推广的命题解析： 由已知得：当x时 , 有ff0, 即xrrx若a1,a2
9、中有一个为0, 则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1,a2均不为 0, 又b1b21, 可得b21b1, 于是在中令x错误 ! ,rb1, 可得 错误 !b1b1错误 ! , 即ab11a1b12a1b1a2, 亦即ab11ab22a1b1a2b2. 综上 ,对a10,a20,b1,b2为正有理数且b1b21, 总有ab11ab22a1b1a2b2. 6 / 7 中命题的推广形式为：设a1,a2, ,an为非负实数 ,b1,b2, ,bn为正有理数 , 若b1b2bn1, 则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn. 用数学归纳法证明如下：当n1 时 ,b11, 有a1a1,
10、 成立假设当nk时, 成立 , 即若a1,a2, ,ak为非负实数 ,b1,b2, ,bk为正有理数 ,且b1b2bk1, 则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk. 当nk1 时 ,已知a1,a2, ,ak,ak1为非负实数 ,b1,b2, ,bk,bk1为正有理数 , 且b1b2bkbk11, 此时 0bk10,于是ab11ab22abkkabk1k1abk1k1错误 ! 1bk1abk1k1. 因错误 ! 错误 ! 错误 ! 1, 由归纳假设可得a错误 !1a错误 !2a错误 !ka1错误 ! a2错误 ! ak错误 !错误 ! , 从而ab11ab22abkkabk 1k1错
11、误 !1bk1abk 1k1, 又因 bk11, 由得错误 ! 1bk 1abk1k1错误 ! ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1, 从而ab11ab22abkkabk 1k1a1b1a2b2akbkak1bk1. 故当nk 1 时, 成立由可知 ,对一切正整数n, 所推广的命题成立说明： 中如果推广形式中指出式对n2成立 , 则后续证明中不需讨论n1 的情况12 函数fx2 2x3, 定义数列 xn 如下：x1 2,xn1是过两点P,Qnxn,f的直线PQn与x轴交点的横坐标证明：2xnxn13. 解析： 因为f42835, 故点P 在函数f的图像上 , 故由所给出的两点P,Q
12、nxn,f, 可知 , 直线PQn斜率一定存在, 故有直线PQn的直线方程为y5错误 !, 令y0, 可求得7 / 7 5错误 ! ? 错误 ! x4?x错误 ! . 所以xn1错误 ! . 下面用数学归纳法证明2xn3. 当n1 时,x12, 满足 2x13, 假设nk时,2 xk3 成立 , 则当nk1 时, xk1错误 ! 4错误 ! , 由 2xk3? 4xk25? 1错误 ! 错误 ! ? 2错误 !4 错误 ! 3 即 2xk13 也成立, 综上可知 2xn3对任意正整数恒成立下面证明xnxn1, 由xn1xn错误 ! xn错误 ! 错误 ! . 由 2xn3? 1xn12? 02
13、43,故有xn1xn0即xnxn1, 综上可知 2xnxn13 恒成立1 用数学归纳法证明含正整数n的不等式 , 要注意观察是解决问题的前提条件, 需要进行合理的试验和归纳, 提出合理的猜想, 从而达到解决问题的目的2前面已学过证明不等式的一系列方法, 如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等, 而本节增加了数学归纳法证明不等式, 且主要 解决的是无限的问题, 因而难度更大一些但仔细研究, 数学归纳法关键是由nk到nk1 的过渡 , 也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题用数学归纳法证明的关键是 变项 , 即在假设的基础上通过放缩、比较、 分析、 综合等证明不等式的方法, 得出要证明的目标不等式, 因此以上几种方法均要灵活地运用有个别较复杂的问题 , 第二个步骤再利用数学归纳法利用数学归纳法证明不等式问题时, 有时要假设当nk时成立 , 再证当nk 1时成立, 实质上 , 这就是第二数学归纳法
