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1、2013 年湖南高考数学（理工农医）一、选择题1.复数1zii（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B. 第一象限C. 第一象限D.第一象限2.某学校有男、女学生各500 名。为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异。拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则它宜采用的抽样方法是（）A.抽签法B. 随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.在锐角ABC中，角,A B所对的边长分别为,a b。若2sin3aBb，则角A等于（）A. 12B. 6C. 4D. 34. 若变量,xy满足约束条件2,1,1yxxyy，则2xy的最大值是（）A. 52B. 0 C. 53D
2、. 525.函数2lnfxx的图象与函数245gxxx的图象的交点个数为（）A.3 B. 2 C.1 D.0 6.已知,a b是单位向量，0ab若向量c满足1cab，则c的取值范围是（）A. 21,21B. 21,22C. 1,21D. 1,227.已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形， 则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A.1 B. 2C. 212D. 2128 . 在等腰直角ABC中，4ABAC，点P是边AB上异于,A B的一点。光线从点P出发，经,BC C A反射后又回到点P（如图 1） 。若光线QR经过ABC的重心，则AP等于（）A.2 B. 1 C. 83D.
3、43图 1 二、填空题：（一）选做题（三选二）9.在直角坐标系xO y中，若直线,:xtlyta（t为参数）过椭圆3 co s,:2 sinxCy（为参数）的右顶点，则常数a的值为10.已知,236,a b cR abc则22249abc的最小值为11.如图 2，在半径为7的O中，弦,AB C D相交于点P，2,PAPB1PD，则圆心O到弦CD的距离为（二）必做题12.若209Tx dx，则常数T的值为13.执行如图 3 所示的程度框图，如果输入1,2ab，则输出的a的值为14. 设12,FF是 双 曲 线2222:10,0 xyCabab的 两 个 焦 点 ，P是C上 一 点 。 若126P
4、FPFa，且12PF F的最小内角为30，则C的离心率为15.设nS为数列na的前n项和，11,2nnnnSanN则31 a121002SSS开始输入,a b8 ?aaab输出结束是否图 3 图 2 16.设函数xxxfxabc。其中0,0.cacb1记集合,a b ca b c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则,a b cM所对应的fx的零点的取值集合为2若,a b c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）(,1),0;xfx,xR使,xxxabc不能构成一个三角形的三条边长；A BC若为钝角三角形，则(1, 2),x使0fx。三、解答题：共6 个小题，共75
5、 分。17.已知函数2sincos,2 sin,632xfxxxgx（）若是第一象限角，且335f，求g的值；（）求使fxgx成立的x的值的集合。18.某人在如图4 所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1 2 3 4 Y51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们这间的直线距离不超过1 米。（）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（）从所种作物中随机选取一株，求它的年
6、收获量的分布列与数学期望。19.如图 5，在直棱柱1111ABCDA B C D中，/ /,90 ,1,ADBCBADACBD BC13ADAA（）证明：1ACB D；（）求直线11B C与平面1AC D所成角的正弦值。20.在平面直角坐标系xO y中，将从点M出发沿纵、 横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”。如图所示的路径123M MMMN与路径1M MN都是M到N的“L路径” 。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xO y内三点3, 20,10, 0 ,14, 0ABC处，现计划在x轴上方区域（包含轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小
7、值的表达式（不要求证明）；（）若以原点O为圆心，半径为1 的圆的内部都是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。3 1 2 O 4 2 3 4 1 图 4 图 6 21.过抛物线2:20Expyp的焦点F作斜率分别为12,kk的两条不同直线12,ll，且122kk。1l与E相交于点,A B，2l与E相交于点,CD，以,AB C D为直径的圆M，圆N（,MN为圆心）的公共弦所在直线记为l，（）若120,0,kk，证明22F MFNp；（）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程。22.已知0a，函数2xafxxa（）记fx在区间0, 4上的最大值为ga，求ga的表达式；（）是否存在a，使函数yfx在区间0, 4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
