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1、 在在本本节节课课之之前前，我我们们研研究究过过直直线线的的各各种种方方程程，建建立立了了二二元元一一次次方方程程与与直直线线的的对对应应关关系系：在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，任任何何一一条条直直线线都都可可以以用用一一个个二二元元一一次次方方程程表表示示，同同时时任任何何一一个个二二元元一一次次方方程程也也表表示示着着一一条条直线直线.创创 设设 情情 境境下面看一个具体的例子下面看一个具体的例子. 【1】求第一、三象限里两轴间夹角平分线的】求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系坐标满足的关系.点的横坐标与点的横坐标与纵坐标相等纵坐标相等.x - - y=0第一、三象限第
2、一、三象限角平分线角平分线 l得出关系得出关系：(1) l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x - - y=0的解的解;(2)以方程以方程 x-y=0的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 l上上.曲线曲线条件条件方程方程xyox- -y=0l分析特例归纳定义分析特例归纳定义满足关系：满足关系：(1)如果如果M(x0, y0 )是圆上的点是圆上的点, 那么那么M(x0, y0 )一定是这个方程的一定是这个方程的解解;【2】方程】方程表示如图的圆表示如图的圆, 图象上图象上的点的点M与此方程与此方程 有什么关系？有什么关系？那么以它为坐标的点一定在圆上那么以它为坐标的点一定在圆上.(2)如果如果
3、M(x0, y0 )是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，的解，oxy分析特例归纳定义分析特例归纳定义(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.定定义义:一一般般地地,在在直直角角坐坐标标系系中中,如如果果某某曲曲线线C(看看作作点点的的集集合合或或适适合合某某种种条条件件的的点点的的轨轨迹迹)上上的的点点与与一一个个二二元元方方程程 f(x , y)=0 的的实实数数解解建建立立了了如如下下的关系
4、的关系:xyo任意曲线任意曲线C（纯粹性）（纯粹性）（完备性）（完备性）说明说明1.1.曲线的方程曲线的方程: :反映的是图形所满足的数反映的是图形所满足的数量关系量关系2.2.方程的曲线方程的曲线: :反映的是数量关系所表反映的是数量关系所表示的图形示的图形3.3.如果曲线如果曲线C C的方程是的方程是f(x,y)=0,那么点那么点P(P(x0 0, ,y0 0) )在曲线在曲线C C上的充要条件是上的充要条件是f(x0,y0)=0. 【3】用下列方程表示如图所示的曲线】用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？对吗？为什么？xyox- -y=0(1)解解:曲曲线线C上的点不全是方程上
5、的点不全是方程 的解的解.例如例如点点A(2,2)不符合不符合“曲线上点的坐标都曲线上点的坐标都是方程的解是方程的解”这一结论这一结论. 不符合关系不符合关系(1)(1)(2)解解:以方程以方程x2- -y2=0的解为坐标的点不全在曲线上的解为坐标的点不全在曲线上.例如例如 B(2, - -2). 不符合关系不符合关系(2)(2) 【3】用下列方程表示如图所示的曲线】用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？对吗？为什么？xyox- -y=0(3)解解:曲曲线线C上的点不全是方程上的点不全是方程 |x| - -y=0 的解的解.例如例如点点C(2,2)不符合不符合“曲线上点的坐标都曲线上
6、点的坐标都是方程的解是方程的解”这一结论这一结论. 不符合关系不符合关系(1)(1)以方程|x|-y=0的解为坐标的点不全全在曲线上，不符合关系不符合关系(2)(2)例如例如 D(-3,3)不在曲线上.解解:(1)不正确，不具备不正确，不具备(2)完备性，应为完备性，应为x=3, (2)不正确不正确,不具备不具备(1)纯粹性，应为纯粹性，应为y=1. (3)正确正确. (4)不正确不正确,不具备不具备(2)完备性完备性,应为应为x=0(- -3y0).(1)过点过点A(3，0)且垂直于且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为|x|=3.(2)到到x轴距离等于轴距离等于2的点组成的直线方程为的
7、点组成的直线方程为y=2.(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为 |xy|=1.(4) ABC的顶点的顶点A(0,- -3)，B(1,0)，C(- -1,0)，D为为BC 中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程 x=0.例例1 .判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程y-555555-5-5-5oxyxoyxo-5yxo55练习练习1.下述方程表示的图形分别是下图中的哪下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？一个？ |x|-|y|=0 x- |y|=011Oxy1111-1-111-
8、1ABCDOxyOxyOxy表示表示C 表示表示D 表示表示B例例2.2.条条件件甲甲:“:“曲曲线线C C上上的的点点的的坐坐标标都都是是方方程程f(xf(x, ,y)=0y)=0的的 解解 ”,”,条条 件件 乙乙 :“:“曲曲 线线 C C是是 方方 程程f(xf(x, ,y)=0 y)=0 的图形的图形”,”,则甲是乙的则甲是乙的 ( )( )(A)(A)充充分分非非必必要要条条件件 (B)(B)必必要要非非充充分分条件条件(C)(C)充充要要条条件件 (D)(D)非非充充分也非必要条件分也非必要条件分析分析:由方程的曲线定义知由方程的曲线定义知 乙乙甲甲B1.设曲线设曲线C：在第一象
9、限内到两坐标轴距离相：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹等的点的轨迹,方程方程logxy-1=0,则下列命题正确则下列命题正确个数为个数为 (1)(1,1)是曲线是曲线C上的点上的点,但但(1,1)不是方程的不是方程的解解(2)曲线曲线C上的点的坐标不都是方程的解上的点的坐标不都是方程的解(3)以方程的解为坐标的点都是曲线以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点上的点(4)曲线曲线C是方程的曲线是方程的曲线 (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个C知知 识识 回回 顾顾2.方程方程 的曲线是图中的的曲线是图中的 B4.若点若点M到到x轴的距离和它到直线轴的距离和它到直线y=8
10、的距离的距离相等相等, 则点则点M的轨迹方程是的轨迹方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=46.如果点如果点(a,b)在曲线在曲线y=x2+3x+1上上,那么点那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是表示的曲线是 (A)一个点一个点 (B) (B) 两条互相平行的直线两条互相平行的直线(C) 两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 (D) 两条相交但不垂直的直线两条相交但不垂直的直线1.设曲线设曲线C
11、：在第一象限内到两坐标轴距离相：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹等的点的轨迹,方程方程logxy-1=0,则下列命题正确则下列命题正确个数为个数为 (1)(1,1)是曲线是曲线C上的点上的点,但但(1,1)不是方程的不是方程的解解(2)曲线曲线C上的点的坐标不都是方程的解上的点的坐标不都是方程的解(3)以方程的解为坐标的点都是曲线以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点上的点(4)曲线曲线C是方程的曲线是方程的曲线 (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个C知知 识识 回回 顾顾2.方程方程 的曲线是图中的的曲线是图中的 B3.以下各题中以下各题中,方程为曲线的方程的是方程为
12、曲线的方程的是 (1)方程：方程：|x| =3,曲线：经过点曲线：经过点A(3,0)且垂直于且垂直于x轴轴的直线的直线 (2)方程：方程： 曲线：与第一、三象曲线：与第一、三象限角平分线距离为限角平分线距离为1的点的轨迹的点的轨迹(3)方程：方程：|y| -x=0，曲线：到，曲线：到x轴的正半轴与到轴的正半轴与到y轴的距离相等的点的集合轴的距离相等的点的集合(4)方程：方程：x2y2=4,曲线：与以原点为圆心曲线：与以原点为圆心,半半径分别为径分别为1、3的两圆相切的圆的圆心的轨迹的两圆相切的圆的圆心的轨迹 4.若点若点M到到x轴的距离和它到直线轴的距离和它到直线y=8的距离的距离相等相等,
13、则点则点M的轨迹方程是的轨迹方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=46.如果点如果点(a,b)在曲线在曲线y=x2+3x+1上上,那么点那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是表示的曲线是 (A)一个点一个点 (B) (B) 两条互相平行的直线两条互相平行的直线(C) 两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 (D) 两条相交但不垂直的直线两条相交但不垂直的直线小结在在轨轨迹迹的的基基础础上上将将轨轨迹
14、迹和和条条件件化化为为曲曲线线和和方方程程,当当说说某某方方程程是是曲曲线线的的方方程程或或某某曲曲线线是是方方程程的的曲曲线线时时就就意意味味着着具具备备上上述述两两个个条条件件,只只有有具具备备上上述述两两个个方方面面的的要要求求,才才能能将将曲曲线线的的研研究究化化为为方方程程的的研研究究几几何何问问题题化化为为代代数数问问题题,以以数数助助形形正正是是解解析析几何的思想几何的思想,本节课正是这一思想的基础本节课正是这一思想的基础.(1)(1)解析几何研究研究问题的方法是什么？解析几何研究研究问题的方法是什么？ (2)(2)如何求曲线的方程？如何求曲线的方程？ (3)(3)请对求解曲线方
15、程的五个步骤进行评价请对求解曲线方程的五个步骤进行评价. .各各步骤的作用步骤的作用, ,哪步重要哪步重要, ,哪步应注意什么？哪步应注意什么？ 1.直接法直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于达，可将条件直接写成关于“x, y”的关系式的关系式.例例2. 两个定点两个定点 A(- -3, 0), B(3, 0), 点点M到这两个定点的距到这两个定点的距离的平方和为离的平方和为26, 求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.【变式训练【变式训练2】已知点】已知点M到到F(0,1)和直线和直线l: y=- -1的距离相等的距离相等,求点求点M的
16、轨迹方程的轨迹方程.所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是(课本课本P.37 A3)1.直接法直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于达，可将条件直接写成关于“x, y”的关系式的关系式.【变式训练【变式训练2】已知点】已知点M到到F(0,1)和直线和直线l: y=- -1的距离相等的距离相等,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：例例3若曲线若曲线 上有一动点上有一动点P，O点为坐标原点，点为坐标原点，M为线为线段段OP的中点，求点的中点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.(学案学案P.130 A8)解解: 设点设点M的坐标是的坐标是(x , y), 点点P的坐标是的坐标是(x0 , y0),由于点由于点M是线段是线段OP 的中点的中点,于是有于是有 x0=2x, y0=2y. 把把代入代入, 得得动点动点P在在曲线曲线 上运动上运动,所以有所以有 整理整理, 得得所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是【变式训练【变式训练3】过原点的直线与圆】过原点的直线与圆C: x2+y2- -6x+5=0
