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1、复习复习Z变换的性质变换的性质.6.3 逆z变换求逆求逆z z变换，即由象函数变换，即由象函数 求原序列求原序列 的问题。的问题。求逆求逆z z变换的方法有：幂级数展开法；变换的方法有：幂级数展开法；*部分分式法；部分分式法；反演积分法（留数法）。反演积分法（留数法）。本节重点讨论最常用的部分分式法。本节重点讨论最常用的部分分式法。一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。式中因果序列为式中因果序列为式中反因果序列为式中反因果序列为.相应地，其相应地，其z z变换也分为两部分变换也分为两部分本节重点研究因果序列的象函数的逆本节重点研究因果序列的
2、象函数的逆z z变换。变换。其中其中根据给定的根据给定的F(z)F(z)及收敛域，不难求得及收敛域，不难求得F F1 1(z)(z)和和F F2 2(z),(z),并分并分别求得它们所对应的原序列别求得它们所对应的原序列f f1 1(k)(k)和和f f2 2(k)(k)。根据线性性。根据线性性质，将二者相加就得到质，将二者相加就得到F(z)F(z)所对应的原序列所对应的原序列f(k)f(k)。.例例6.3-1 6.3-1 已知象函数已知象函数其收敛域如下，分别求其相应的原序列其收敛域如下，分别求其相应的原序列f(k)f(k)解（解（1 1）由于）由于的收敛域为的收敛域为故故 为因果序列。为因
3、果序列。用长除法将用长除法将 展开为展开为 的幂级数如下：的幂级数如下：一、幂级数展开法一、幂级数展开法.即即相比较可得原序列相比较可得原序列.（2 2）由于）由于的收敛域为的收敛域为故故 为反因果序列为反因果序列。用长除法将用长除法将 展开为展开为 的幂级数如下：的幂级数如下：.即即相比较可得原序列相比较可得原序列.（3)3)的收敛域为的收敛域为故故 为双边序列。为双边序列。将将 展开为部分分式，有：展开为部分分式，有：因果序列象函数因果序列象函数反因果序列象函数反因果序列象函数.例例6.3-2 6.3-2 某因果序列的象函数某因果序列的象函数求其原函数求其原函数 。解解 指数函数指数函数可
4、展开为幂级数可展开为幂级数令令，则，则可展开为可展开为.二、部分分式展开法二、部分分式展开法 在离散系统分析中，经常遇到的象函数是在离散系统分析中，经常遇到的象函数是z z的的 有理分式，它可以写为：有理分式，它可以写为：. 将将 展开为部分分式，其方法与第五章中展开为部分分式，其方法与第五章中 展开方法相同。展开方法相同。 的分母多项式为的分母多项式为 有有n n个根个根它们称为它们称为 的极点。的极点。（1 1） 有单极点有单极点（2 2） 有共轭单极点有共轭单极点（3 3） 有重极点有重极点.各系数为各系数为 如如 的极点的极点 都互不相同，且不等都互不相同，且不等0 0 则则 可展开为
5、可展开为（1 1） 有单极点有单极点上式等号两端乘以上式等号两端乘以z z，得，得根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即.就可以求得展开式的原函数。就可以求得展开式的原函数。根据已知的变换对，如根据已知的变换对，如.例例6.3-3 6.3-3 已知象函数已知象函数分别求其原函数。分别求其原函数。其收敛域分别为（其收敛域分别为（1 1） （2 2） （3 3）解解 由象函数可见，其极点为由象函数可见，其极点为 。其展开式为其展开式为.于是得于是得各项系数为：各项系数为：即即.（2 2）收敛域）收敛域故故为反因果序列。得为反因果序列。得（3 3）收敛域）收
6、敛域（1 1）收敛域）收敛域故故为因果序列。得为因果序列。得.例例6.3-4 6.3-4 求下面象函数的逆求下面象函数的逆z z变换。变换。解解 由上式可见其象函数的极点为由上式可见其象函数的极点为1/21/2，1 1，2 2，3 3。将将展开为部分分式为展开为部分分式为按求各项系数公式可得：按求各项系数公式可得：.故象函数的展开式为：故象函数的展开式为：.（2 2） 有共轭单极点有共轭单极点如果如果有一对共轭单极点有一对共轭单极点则可将则可将展开为展开为式中式中中除共轭极点所形成分式外中除共轭极点所形成分式外是是的其余部分，而的其余部分，而可以证明，如可以证明，如 是实数系数多项式，则是实数
7、系数多项式，则将将 的极点的极点 写为指数形式，即令写为指数形式，即令.前式可改写为前式可改写为取上式逆变换，得取上式逆变换，得令令若若若若等号两端乘以等号两端乘以z z，得，得.例例6.3-5 6.3-5 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。解解 的极点为的极点为可展开为可展开为求得各项系数求得各项系数.于是得于是得取上式的逆变换，得取上式的逆变换，得.（3 3） 有重极点有重极点如果如果在在 处有处有r r重极点，重极点， 则可将则可将展开为展开为式中式中 是除重极点是除重极点 以外的项，在以外的项，在 处处。各项系数。各项系数 可用下式求得可用下式求得根据给定的收敛域，求上式的逆
8、变换。根据给定的收敛域，求上式的逆变换。.如果如果 有共轭二重极点，有共轭二重极点， 可得：可得：若若 ，则，则且且.若若 ，则，则.例例6.3-6 6.3-6 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。解解 将将 展开为展开为根据求系数公式可得：根据求系数公式可得：.所以所以即即由于收敛域由于收敛域 ，由表，由表6-26-2可得逆变换为可得逆变换为.例例6.3-7 6.3-7 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。解解 有一对共轭二重极点有一对共轭二重极点 将将 展开为展开为.所以所以.本节小结本节小结1、幂级数展开法求逆、幂级数展开法求逆z变换变换2、部分分式展开法求逆、部分分式展开法求逆Z变换变换.
