小题压轴题专练9—椭圆（2）一、单选题1．动直线与椭圆有两个不同的交点，，在椭圆上找一点使的面积最大，则的最大值是 A．1 B．2 C． D．解：设，，，，高考群：941246925-公众号：新课标试卷联立，得，△，得．，，，当过点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时，点到动直线距离取到最值（最大或最小），不妨设过点直线方程为，联立，整理得，则根据△，可得，不妨取，则到直线的距离，，令，，则．．令，则．当时，，当，时，，．的最大值为．故选：．2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为 A． B． C． D．解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．且，，，，．设，，则，．解得：，．，，，化为：．令，，，．，．．当且仅当时取等号．故选：．3．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围是 A．， B．， C．， D．，解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，故平行四边形为矩形，，设，，则在直角三角形中，，，①得，②①②得，令，得，又由，得，，，，即，即，得，即，即，则，即，得得则椭圆的离心率的取值范围是，，故选：．4．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，，且直线与轴、轴分别交于点、，当为坐标原点）的面积最小时，、是椭圆的两个焦点），则此时△中的平分线的长度为 A． B． C． D．解：由题意，切线方程为，直线与、轴分别相交于点、，，，，，，，当且仅当时，为坐标原点）的面积最小，设，，则，由余弦定理可得，，△的面积，，，，，，设△中的平分线的长度为，则，，故选：．5．已知点，在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是 A． B．， C．， D．解：由题意知，点，，则，，，，，，；又，代入椭圆方程中，整理得；令，；，（a），如图所示：△，对称轴满足，即，，，；又，；则椭圆的离心率的取值范围是，．故选：．6．已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 A．， B． C．， D．解：延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，设直线的方程，，，，，联立，整理得：，则，，由，则，解得：，，由，整理得：，则，即，椭圆的离心率，椭圆的离心率的取值范围，，方法二：利用椭圆的极坐标方程．由，且，，由，所以，整理得，其中，，由，不重合，所以，，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，，故选：．7．已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭圆上，四边形为平行四边形为坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．解：因为四边形为平行四边形，所以，，设点纵坐标为，代入椭圆的方程得，解得，则，解得，当，可得，，，，所以直线的方程为，化简可得，所以即为点到直线的距离，所以，所以，整理得，故，所以，所以，所以舍去）或，所以的取值范围为，．故选：．8．已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是△的内心，是△的重心，记△与△的面积分别为，，则 A． B． C． D．解：离心率为，，则，，设的坐标为，，三角形△的面积为，则，是△的重心，，即，设内切圆的半径为，则，则，即，即，则，则，即则，即，故选：．9．已知椭圆，直线过椭圆的左焦点且交椭圆于、两点，的中垂线交轴于点，则的取值范围为 A． B． C． D．解：由椭圆的方程：，可得左焦点，当直线的斜率为0时，则直线为轴，的中垂线为轴，这时与原点重合，这时，，所以，当直线的斜率不存在时，的中垂线为轴，舍去，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，的坐标分别为，，，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，，，所以弦长，，所以的中点坐标，，所以直线的中垂线方程为：，令，可得，所以，，所以，所以，，综上所述的取值范围，，故选：．10．已知，是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是 A． B． C． D．解：若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，在三角形中，由余弦定理可得：，当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大，如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大，设，则，所以，因此当椭圆的离心率取得最小值时，，故椭圆的标准方程为，连接，则，所以只需研究的最大值即可，连接，，，当且仅当，，三点共线点段的延长线上）时，不等式取得等号，所以的最大值，故的最大值是．故选：．二、 多选题11．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，．过点的直线交椭圆于，两点，且，关于点对称，则下列结论正确的有 A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．直线的方程为解：由椭圆的定义知，故，因为，所以，所以，，所以椭圆的方程为，所以椭圆的焦距为，则正确，错误，由知，故点在以为直径的圆上，由知圆与椭圆有4个交点，正确，依题意知点为弦的中点，设，，，，则，两式作差可得，因为，，所以，故直线的方程为：，即，正确，故选：．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长轴长是短轴长的，若点是椭圆上不与，共线的任意点，且△的周长为16，则下列结论正确的是 A．的方程为 B．的离心率为 C．双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为 D．点是圆上一点，点，是的左、右顶点不与，重合），设直线，的斜率分别为，，若，，三点共线，则解：根据题意可得，解得，，，对于：椭圆的方程为，即正确；对于，即错误；对于：双曲线的渐近线为，联立，且，，解得，，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，即正确；对于：由题意知，，，设，，则，在圆上，且，，三点共线，，，，即，故选项正确．故选：．13．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有 A．若是“黄金椭圆”，则 B．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则△的周长为 C．若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则 D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，，设直线，的斜率分别为，，则解：中没有指明焦点在轴还是轴，应该由两个值，所以不正确；中，由题意，则，所以，则△的周长为，所以正确；中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以，所以，所以，，因为，，所以，所以，所以正确；中，由题意可得，，设，，则为，因为在椭圆上，所以，所以，因为黄金椭圆”上动点，所以，所以，而，所以，即，所以，可得正确．故选：．14．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是 A．若，则△的面积为 B．四边形，可能为矩形 C．直线的斜率为 D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为解：由椭圆，得，，，在△中，由余弦定理可得，，即，解得，，故错误；若四边形为矩形，则，即，即，联立，得，得，，，即，得，该方程有实根，故正确；由，得，由对称性，不妨设，得，，，，则，，则，故正确；，所在直线方程为，与椭圆联立，可得，即．得，，故，则，故错误．故选：．三、 填空题15．把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则半椭圆方程为 ，△的周长的取值范围是 ．解：由，令，可得以及，再由椭圆的方程及题意可得，，，由，可得，由可得，所以，所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，所以，可得相当于椭圆的左焦点，△的周长为，当从（不包括向运动时，，当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，当从向运动时，在第四象限，则，，这时三角形的周长小于8，当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，综上所述，△的周长的取值范围为，．故答案为：；，．16．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为 ．解：由已知可得，所以，则直线的方程为：，即，代入椭圆方程消去整理可得：，设，，，，，，则，又由已知可得：，所以，则，所以，所以，又由可得，所以，即，解得或4（舍去），所以，，所以椭圆的方程为，故答案为：．17．设，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点是椭圆上的动点，过点作的角平分线的垂线，交于，交直线于，则点的横坐标的最小值为 ．解：设，，，，因为点在椭圆上，所以，又，，所以，所以，，分别过点，作轴于，轴于，则，所以，所以，即，有是的中点，所以，令，故，（当且仅当，即时，取等号）即点的横坐标的最小值为．故答案为：．18．已知点，，，分别是椭圆的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点，是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为 ．解：如图所示，，，，．直线的方程为：．设与直线平行且与椭圆相切于点的直线方程为：、联立，化为：，令△，解得：．取．与之间的距离．的面积最大值．解得．设，．则．则，当且仅当时取等号．的最大值为．故答案为：．。