《清单38 离散型随机变量的分布列、均值与方差(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清单38 离散型随机变量的分布列、均值与方差(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、清单38 离散型随机变量的分布列、期望与方差一、知识与方法清单1.随机变量与离散型随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母，等表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.【对点训练1】已知随机变量满足P(0)，P(1)x，P(2)x，则当在内增大时，（ ）AE()增大，D()增大BE()减小，D()增大CE()减小，D()减小DE()增大，D()减小【答案】C【解析】随机变量满足，.若，则随增大，减小，减小.故选C2. 离散型随机变量的分布列设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称表为随机变量
2、的概率分布列，简称为的分布列.有时为了简单起见，也可用，表示的分布列.【对点训练2】（2021重庆西南大学附中高三月考）据了解，现在快节奏的工作、不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压、高血脂、高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，现对该市30名男性成人进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝以上的”为常喝已知在所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为常喝不常喝合计有糖尿病2无糖尿病4合计30参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.8
3、7910.828参考公式：（其中）（1）请将上述列联表补充完整；根据列联表判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由（2）研究发现，有5种药物对糖尿病有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是200元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望【解析】（1）常喝不常喝合计有糖尿病8210无糖尿病41620合计121830所以，有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关（2）X的取值可能为400，600，800，（或者）分布列如下X400600800P（元）3. 离散型随机变量分布列的性质pi0，i1,2，
4、n；i1.【对点训练3】（2021浙江模拟预测）随机变量满足分布列如下：012P则随着的增大（ ）A增大，越来越大B增大，先增大后减小C减小，先减小后增大D增大，先减小后增大【答案】B【解析】因为，所以，又因为，解得，所以，随着的增大，增大；，因为，所以先增大后减小.故选B.4. 用定义法求离散型随机变量的分布列及均值、方差的步骤：(1)理解的意义,写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值的定义求E()【对点训练4】（2021四川成都七中高三期中（理）某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 .现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（
5、单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.产品件数一等品二等品总计甲生产线乙生产线总计（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：.【解析】（1）由题意可得，一共抽样50个，产量之比为 ，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取，乙生产线抽取，故甲生产线抽取一等品40-2=38，乙生产线抽取二等品10-7=3，填表如下：产品件数一等品二等品总计甲生
6、产线3840乙生产线310总计455所以，故有97.5把握认为产品的等级差异与生产线有关（2）依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能.的所有可能取值为：0，1，2，3.故，则的分布列为：0123P所以5.求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.(1) 利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法
7、把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)求概率.(2)较为复杂的概率问题的处理方法有：转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；采用间接法,先求事件A的对立事件的概率,再由P(A)1P()求事件A的概率.【对点训练5】（2021江苏海安高级中学高三月考）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：日期星期一星期
8、二星期三星期四星期五保养车辆尾号和和和和和该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；（2）设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望【解析】（1）设该分公司A，B，C三辆押运车在星期四出车的事件分别为ABC，该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D则（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3， ；所
9、以X的分布列为X0123P6.两点分布(01分布)随机变量的分布列为X10Pp1p则称服从两点分布，并称为成功概率，两点分布也称分布.【对点训练6】设随机变量的分布列为X10P 则 【答案】 【解析】，。7.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件Xk发生的概率为P(Xk),k0,1,2,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*,称分布列为超几何分布列.记为XH(n,M,N).此时有.【对点训练7】（2020北京八中高三期中）1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间
10、为，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求X的分布列（3）从流水线上任取2件产品，求恰有1件产品的重量超过505克的概率【解析】（1）重量超过505克的产品数量是：件（2）X的所有可能取值为0，1，2，X的分布列为：X012P（3）从流水线上任取1件产品，重量超过505克的概率为，从流水线上任取2件产品，相当于做了2次独立重复试验，恰有1件产品合格的重量超过505克的概率为：8.超几何分布的特点是：整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正
11、品、次品”等,总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.【对点训练8】（2021云南曲靖一中高三月考（理）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人” 称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们的运动情况，选取了老师们在某日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060
12、合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关?（2）从具有“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，抽取的2人都为女教师的人数为随机变量X，求X的分布列.参考公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）根据列联表数据得：不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人，随机变量的取值可以为0，1，2， 分布
13、列为X012P均值9.二项分布如果随机变量的可能取值为0，1，2，n，且取值的概率(其中)，其随机变量分布列为01kn则称服从二项分布，记为.【对点训练9】（2021吉林长春外国语学校高三期中）很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分6分3分2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.【解析】（1）这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为，其方差为.（2）抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为，故从该市新手中任选1名合格的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，.所以X的分布列为X0
