哈密顿-雅可比方程与薛定谔方程的关系浅析 ：O413.1：A：41-1413（2012）04-0000-01摘要：本文由经典力学哈密顿——雅可比方程出发，考虑光学与力学的相似关系，利用类比的方法，给出量子力学中的基本方程——薛定谔方程，同时给出量子力学中动量算符和坐标算符的基本对易关系关键词：哈密顿——雅可比方程；薛定谔方程；对易关系引言经典力学发展到十九世纪末期，已经形成以牛顿定律、拉格朗日方程和哈密顿理论为基础的完整的理论体系，并取得了显著成绩但随着新的实验现象的发现，经典力学的不足之处逐渐显现出来，迫切需要建立新的理论为了解释这些实验现象，人们提出量子论，并进一步建立了量子力学，从而完善了理论体系，加深了人们对自然本质的认知1926年，奥地利物理学家薛定谔先后发表了题为“作为本征值问题的量子化”的系列文章，文中他基于德布罗意在1924年提出的物质波假说，采用类比的方法，对比了经典力学和光学的相似性，提出了描述物质波运动规律的基本方程——薛定谔方程，为量子力学的建立奠定基础本文在回顾经典力学哈密顿——雅可比理论的基础之上，按照薛定谔建立波动力学的历史过程，给出量子力学的基本方程——薛定谔方程，旨在帮助学生了解经典力学与量子力学的联系，加深对理论物理相关课程前后连贯性的理解。
一、经典力学与光学的相似性经典力学与光学之间存在着深刻的相似性，可以从一些基本概念出发，来讨论这种相似性例如，在力学中有质点、轨迹、速度、势能和能量等；与之对应，在光学中存在波包、光线、群速度、折射率和频率等而且在力学中，质点运动轨迹可以由哈密顿原理给出；相应的，在光学中，光线遵从费马原理，这两个基本原理具有类似的数学形式这些相似性，揭示了物理规律的内在联系二、哈密顿——雅可比理论在经典力学中，自由度为的完整保守系，其运动规律可以由哈密顿——雅可比方程决定即为能量守恒体系的哈密顿——雅可比方程，E是体系的机械能在位形空间中哈密顿主函数S的运动图像可以看成是等S面在空间中移动，类似与经典波动的波前的运动形式，也就是说可以用一个波的传播来代替等S面的运动，此波动的相速度为其中的v表示由S描述的质点在空间中的运动速度可见，质点的运动速度与波前的相速度之间成反比，而质点的运动轨迹与波前相互垂直这与经典理论中光线与光波面的运动图像类似三、薛定谔方程薛定谔考虑到德布罗意提出的物质波假说，对比了经典力学哈密顿理论和几何光学的相似性，从能量守恒体系的哈密顿——雅可比方程(5)式出发，给出了微观粒子所遵循的基本规律——薛定谔方程。
假设一微观粒子在有心力作用下运动，其哈密顿函数可以写成是含时薛定谔方程方程(17)和(19)是薛定谔提出的波动力学中描述物质波运动规律的基本方程，是量子力学的基本假设上面是对薛定谔提出这些基本假设的过程的简要回顾，不能由此得出薛定谔方程是由经典理论导出的结论薛定谔方程被提出后，被成功的应用于对于氢原子体系，很自然的得出了氢原子的能级分布，不必像旧量子论那样人为的加入量子化条件四、对易关系根据哈密顿算符的定义式，由经典能量动量关系，考虑动量算符的厄米性，对比可得粒子的动量算符为是量子力学中坐标算符和动量算符所满足的基本对易关系五、总结综上所述，本文在总结回顾经典力学的哈密顿——雅可比方程的基础上，通过分析对比经典力学与光学的相似性，给出量子力学中描述微观粒子运动规律的基本方程——薛定谔方程，并进一步给出了量子力学的基本对易关系，即坐标算符和动量算符之间的对易关系可以看出，薛定谔方程并不是凭空产生的，可以在经典理论中找到其思想的出发点，这些讨论为学生学习量子力学课程提供有益的帮助，并加深对相关理论课程内容的理解参考文献：[1]周衍柏.理论力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1986年.[2]吴大猷.理论物理（第六册）[M].量子力学甲部.北京：科学出版社.2010年.[3]朗道，栗弗席兹著，李俊峰译.理论物理学教程（第一卷）：力学（第五版）[M].北京：高等教育出版社.2007年.[4]H.Goldstein，C.PooleandJ.Safko.经典力学（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2005年.[5]费米著，罗吉庭译.量子力学[M].西安：西安交通大学出版社.1984年. -全文完-。