实践导向型高职教育系列教材应 用 型 高 等 数 学（经管类）本章概要本章概要极限概念产生于求某些实际问题的精确解.极限的思想和分析方法广泛地应用于社会生活和科学研究的各个方面.在研究复杂问题时,常先用简单算法(如以常代变、以直代曲等)求出近似值,通过取极限得到精确值.还可以用极限对事物的发展做某种预测(包括中长期分析和远期预测),如极限可应用于研究事物的运动、发展规律,传染性疾病的传播规律,产品销售量的中长期分析,以及投入与产出的中长期分析等.在对社会经济现象的研究中,常常要分析经济变量的变化规律,如,从企业的发展趋势来判断它的前途,从市场变化趋势来预测产品的需求状况等等,从数学上看这就是函数极限问题.极限是研究变量变化趋势的基本工具,是人们由有限认识无限,由近似认识精确,由量变认识质变的辩证思想和数学方法.极限方法是研究函数的一种最基本的方法,微积分中许多基本概念,如连续、导数、定积分等都是用极限来定义的.学习目标学习目标能利用函数图形和极限定义计算简单函数的极限;会用极限基本方法求极限;能运用初等函数的连续性进行相关的计算与判断;掌握无穷大和无穷小的概念;能运用极限计算连续复利和经济中的其他极限问题.2 . 1 极 限 的 概 念2 . 2 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量2 . 3 极 限 运 算2 . 4 函 数 的 连 续 性2 . 5 经 济 中 的 极 限 问 题2.1 极限的概念第2章极限与连续2.1.1 极限思想概述u1.极限思想的产生与发展极限思想的由来刘徽的割圆术;古希腊人阿基米德的穷竭法也蕴含了极限思想.极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密联系的.这是促进极限发展、建立微积分的社会背景.起初牛顿和莱布尼兹以无穷小概念为基础建立微积分。
极限思想的完善达朗贝尔等人；捷克数学家波尔查诺,法国数学家柯西，维尔斯特拉斯第2章极限与连续2.1.1 极限思想概述u2.建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限u3.解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处第2章极限与连续2.1.2 数列的极限引例2-1 【圆面积的计算方法】很长一段时间,人们试图采用各种方法去近似计算圆的面积.我国魏晋时期的刘徽注解九章算术,提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形运用穷竭方法求圆的面积.“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”请利用割圆术的思想推导圆的面积公式.预备知识：数列极限第2章极限与连续2.1.2 数列的极限定义2-1 【数列an的极限】 对于数列an,当n无限增大(即n)时,通项an无限趋近于某一个确定的常数A,则称A 为n时数列an的极限,或称数列an收敛于A.记作第2章极限与连续2.1.2 数列的极限第2章极限与连续2.1.2 数列的极限第2章极限与连续2.1.2 数列的极限引例2-1【圆面积的计算方法】的分析和求解分析“割圆术”求圆面积的思路如图2-1所示,做圆的内接正四边形、正八边形和正十六边形,从图形的几何直观上不难看出：随着圆内接正多边形边数n 的增加,圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近.解如图2-2,设圆的内接正n 边形的边长为an,边心距为hn,面积为Sn,则有第2章极限与连续2.1.2 数列的极限第2章极限与连续2.1.2 数列的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限讨论函数极限时,自变量的变化过程有以下两种:(1)自变量的绝对值无限增大,即x;(2)自变量x 任意地趋近于某一确定点x0,即xx0;1.x时f(x)的极限定义2-2 【x时,f(x)的极限】 当x 的绝对值|x|无限增大(即|x|+)时,函数f(x)无限趋近于某一确定的常数A,则称A 为x时f(x)的极限,或称f(x)收敛于A.记作第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限2.xx0 时f(x)的极限xx0(读作“x 趋近于x0”)是|x-x0|0,但xx0,表示动点x 无限接近于点x0,但永远不等于x0 的过程,如图2-9所示.第2章极限与连续2.1.3 函数的极限设函数f(x)在点x0 附近有定义(x0 可以除外),当自变量x 无限趋近于x0(xx0)时,相应的函数值f(x)无限趋于常数A,则称A为当x 趋近于x0 时f(x)的极限,或称f(x)收敛于A.记作第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限第2章极限与连续2.1.3 函数的极限2.2 无穷小量与无穷第2章极限与连续22无穷小量与无穷大量第2章极限与连续2.2.1 无穷小量第2章极限与连续2.2.1 无穷小量第2章极限与连续2.2.1 无穷小量2.无穷小的性质性质1 有限个无穷小的代数和是无穷小.例如,x0时,x 和sinx 都是无穷小量,故x+sinx 也是无穷小量.性质2 有限个无穷小的乘积是无穷小量.例如,x0时,x 和sinx 都是无穷小量,故xsinx 也是无穷小量.性质3 无穷小与有界函数之积是无穷小量.第2章极限与连续2.2.1 无穷小量第2章极限与连续2.2.2 无穷大量第2章极限与连续2.2.2 无穷大量第2章极限与连续2.2.2 无穷大量第2章极限与连续2.2.2 无穷大量2.3 极限运算第2章极限与连续2.3.1 极限的四则运算法则第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法第2章极限与连续2.3.2 计算极限的基本方法2.4 函数的连续性第2章极限与连续2.4.1 自变量的增量定义2-7 【自变量的增量】 设自变量x 从初值x0 变化到终值x0+x,终值与初值的差是x,记为自变量x 的增量.注意：增量x 可以是正的,也可以是负的.当增量x 为正时,自变量x 从x0 变化到x0+x 是增大的;当x 为负时,x 从x0 变化到x0+x 是减小的.第2章极限与连续2.4.2 函数的增量第2章极限与连续2.4.3 点连续的概念第2章极限与连续2.4.4 点连续的另一个定义第2章极限与连续2.4.4 点连续的另一个定义第2章极限与连续2.4.5 连续区间第2章极限与连续2.4.6 初等函数的连续性第2章极限与连续2.4.7 闭区间上连续函数的性质定理2-6 【最值定理】 若f(x)是闭区间a,b上的连续函数,则f(x)在a,b上一定能取得最大值和最小值.定理2-7 【零点定理】 若f(x)是闭区间a,b上的连续函数,且f(a)与f(b)异号,则至少存在一点(a,b),使得f()=0.2.5 经济中的极限问题第2章极限与连续2.5.1 计息方式123单利复利连续复利第2章极限与连续2.5.1 计息方式u1.单利单利(simpleinterest)是指获利不滚入本金，每次都以原有的本金计利例如，假定某项投资每年有10%的获利，若以单利计算，投资100万元,每年可赚10万元，十年可以赚100万元，多出一倍.单利的特点是无论存期有多长,利息都不加入本金.单利的基本公式是:利息=本金利率期数,I=Pin本利和=本金+利息,F=P(1+in)第2章极限与连续2.5.1 计息方式u2.离散复利银行按规定在一定时间结息一次,结息后即将利息并入本金,也就是将前一期的本金与利息的和作为后一期的本金来计算利息,逐期滚动计算,俗称“利滚利”,这种计算方法叫作复利(compoundinterest)第2章极限与连续2.5.1 计息方式第2章极限与连续2.5.1 计息方式u3.连续复利第2章极限与连续2.5.2 经济中的其他极限应用第2章极限与连续本章任务解决第2章极限与连续本章任务解决第2章极限与连续本章任务解决第2章极限与连续本章任务解决注意:为得到同样的结果,连续复利所需的初始投资比一年四次复利所需投资要小一些.由于连续复利比一年四次复利的年有效收益高,所以这一结果是可以预料的.谢谢 。