八年级上册实数专题训练 实数专题训练 一. 学习目标 1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类 能力 2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义 3、了解实数范围内相反数、倒数数和绝对值的意义 4、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数 二. 教学重点与难点 1、 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值及有理数的运算 2、 关于绝对值的化简；有理数的混合运算；符号情况；规律探索题 3、 绝对值的化简；运算时符号的错误；规律探索无从下手 三. 考点分析 1. 算术平方根、平方根、立方根的性质 2. 算术平方根、平方根、立方根的性质 3. 创新思维题 四.知识体系与典型例题分析 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及 “不循环”这两个条件 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01… （两个1之间依次多1个0）等。
3）无理数与有理数的和差结果都是无理 数如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数）， 而无理数则不能写成分数形式 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 ： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39= 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数 （2）算术平方根本身是非负数 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的 相反数共同构成了平方根因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ± 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、 235=- （3）2)3(-的算术平方根是 4）若x x -+有意义，则 =+1x ___________ （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的 取值范围。
（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分求x － y 的 值. 平方根： 1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的 平方根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根 例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义 （3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多 少？ 3. 的性质与22)0()(a a a ≥ （1） 77)0()22=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数如5|5|52== 3|3-|3-2==）（ 例：1.求下列各式的值 （1）27 （2）27-）（ （3） 249-）（ 2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简 =-+|3|)-22x x （ 1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3=a,那么这个数x 就叫 做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 如23=8，则2 是8的立方根，0的立方根是0 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数立方 根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根 是2，④()4832 ±=± 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小： 方法一：估算法如3＜10＜4 方法二：作差法如a ＞b 则 a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小 例：比较下列两数的大小 （1） 2 123-10与 （2）5325与 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最 小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1 （2）实数也可以分为正实数、0负实数 实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=? ??”或“0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里 －|－3|，21．3，－1．234，－22 7 ,0，－9 ,－ 3－1 8 , － Л 2 ,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中 无理数集合｛｝负分数集合｛｝ 整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1
*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜ a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 三、解题指导： 1．下列语句正确的是（） A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数 C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数2．和数轴上的点一一对应的数是（） A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2．零是（） A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4.如果a是实数，下列四种说法： （1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数， （3）ａ的倒数是1 a ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个 *5．比较下列各组数的大小： (1) 3 2 3 时, 1 a 1 b 6．若a,b满足|4-a2|+a+b a+2 =0,则 2a+3b a 的值是 *7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中 O是原点，且|a|=|c| （1）判定a+b,a+c,c-b的符号 （2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为9．已知x0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？ 12．把下列语句译成式子： （1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数； （4）a、b互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数； （6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0 13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点 七.课后总结与回顾 八.课后习题 1．0的相反数是，3－л的相反数是，3 －8 的相反数是；－ л的绝对值是，0 的绝对值是， 2 － 3 的倒数是2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 A表示的数是－1 2 ，且AB＝ 1 3 ，则点B表示的数是 3 －3 3 ,л,(1－ 2 )o,－ 22 7 ,0．1313…,2cos60o, －3－1 ,1．101001000… (两1之间依次多一个0),其中无理数有，整数有，负数有。
4. 若a的相反数是27，则｜a|＝；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是 6．实数可分为（） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数 。