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1、运算机销售的最高利润姓名学号班级袁少伟袁少伟摘要随着科学的进展，社会愈来愈进步，运算机已经成为人们生活中不可缺少的一种工具，在这种情形下，运算机制造厂商也愈来愈多，为了取得高利润，这就需要生产商从各方面着手，以最少的本钱取得最大的利润。此题确实是针对一家运算机制造厂商通过调整运算机的批发价钱和广告预算费用来取得最大利润的问题；题中批发价钱和广告预算费用是两个相对独立有限制的变量，因此该题咱们采纳有约束的多变量最优化模型求解。问题一是求使利润最高是的销售价钱和广告预算。通过度析，销售价钱和广告预算是两个相对独立的变量，因此咱们利用有约束的优化模型成立模型，拉格朗日乘子法求解，结果为：要取得最大利
2、润，广告费用增加50000美元/月，运算机批发价钱15美元/台，取得最大利润2661250美元。问题二是讨论决策变量（批发价钱和广告预算费用）关于价钱弹性系数（数据50%）的灵敏度。模型中的参数价钱弹性系数是通过估量、预测的，需考虑其灵敏性，在分析时将此参数设为变量，进行计算。此题中咱们用微分方程对价钱弹性系数作为特定参数进行灵敏性分析，结果为：若是价钱弹性系数在50%的基础上提升提，运算机批发价钱就应当在935美元的基础上降低%,而价钱弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无阻碍。问题三是讨论决策变量关于每增加10000美元/月的广告费，多销售的运算机200台这一数据的灵敏
3、性。方式一样是用微分学进行灵敏性分析，结果为：当每增加10000美元/月广告费时可多销售200台基础上增加1%,运算机批发价钱应在935美元基础上降低心而价钱弹性系数如在一个微小范圉内进行波动将对广告预算费用的提高无阻碍。问题四是分析说明拉格朗日乘子数（也确实是影子价钱）的实际意义，再利用其说服公司最高治理层提高广告费用的最高限额。关键词：有约束的多变量最优化模型；灵敏性分析：拉格朗日乘子；影子价钱：一、问题提出一家个人运算机制造厂商此刻每一个月售出10000台大体机型的运算机。生产本钱为700美元/台。批发价为950美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位实验的市场将价钱降低了100美元
4、，其结果是销售量提高了50%。公司在全国为其产品做广告的费用为每一个月50000美元。广告代理商宣称假设将广告预算每一个月提高10000美元，会使每一个月的销售额增加200台。治理部门同意考虑提高广告预算到最高不超过100000美元/月。（1）利用有约束最优化模型和拉格朗日乘子发求使利润达到最高的价钱和广告预算。（2）讨论决策变量（价钱和广告费）关于价钱弹性系数（数据50$）的灵敏性。（3）讨论据决策变量关于广告商估量的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来讲服最高治理层提高广告费用的最高限
5、额？二、大体假设假设1：批发价钱降低了100美元，其结果是销售量提高了50缸假设2：将广告预算每一个月提高10000美元，会使每一个月的销售额增加200台。三、符号说明符号意义单位备注S计算机的销售数量台y每个月提高的广告预算量美元50000X计算机市场价格降低量美元Z计算机市场销售价格美元C生产计算机的总成本美元R计算机销售的总收入美元P计算机销售的净利润美元m计算机的初始销售数量台常量n计算机的初始销售价格美元常量d计算机的初始广告费美元常量D每月广告预算费的最大值美元常量a价格的弹性系数常量b广告预算增加每10000美元，销售数量的增加量台常量表格1四、问题分析运算机的销售价钱为：（此处
6、n=950美元）z=n-x运算机的销售数量为:5=m+x-100xaxwi+ylOOOOxft(此处m=10000台,a=50%,b=200台)因此，运算机总的销售收入为：R=sxz生产总本钱为：C=700xsM*y(此处d=50000美元)生产净利润为：P二R-C因此，原问题转化为求0WxV250美元和0Wy+50000+jr其中a二问题一模型的求解求解方式Lagrange乘子法这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，能够利用Lagrange乘子法求解。第1步：确信目标函数P(x,y)的可行域S目标函数P(x,y)的可行域S(见图1)为：图1第2步：计算”在可行域S的内部，因此，最大值必
7、然在边界上达到。第3步：计算边界上的极大值由于可行域由4条直线围成，因此需要别离计算P(x,y)在每一条边界限段上的极大值，下而别离计算，其Lagrange乘子方程为,即r2500-100xx-0_02xy=24-0_02xx=2约束条件为：rox50000,不符合题意，因此,当x=15,y=50000时，可取得最大利润2661250美元。问题一结果的分析及验证有上而计算可知，这家运算机制造商将销售价钱降低15美元，每一个月的广告预算费用提高50000美元，可取得最大利润2661250美元。问题二模型成立与求解问题二的分析由于在模型中咱们假设降低100美元的价钱弹性系数a二，因此应该研究它的微
8、小转变对模型结果的阻碍。而模型要紧求的是销售价钱和广告预算费，因此咱们只考虑a的微小转变对这两个的阻碍。问题二模型的成立在模型中咱们假设a=,将其带入前而的公式中，咱们取得：式”)=(250-(10000+50xx+0_02y)-(50000+y)问题二模型的求解令P关于x,y的偏导数为零，那么：=-200ar+250GOi-0.02y-10000=0=4-0_02x=l约束方程为：y=50000联立求解得运算机批发价钱降低量x关于价钱弹性系数n的曲线图如图2所示:图2能够用相对改变辆衡量结果对参数的灵敏程度，x对a的灵敏度记作S(x,a),概念为、x/xdeauajadax当a=,x=15时
9、,Sg) =55x05此5隈15= 733问题二结果的分析及验证若是价钱弹性系数在50%的基础上提升1%,运算机批发价钱就应当在935美元的基础上降低船而价钱弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无阻碍。问题三模型成立与求解问题三的分析由于在模型中咱们假设提高10000美元/月，销售量增加的量b是由估算取得的，因此应该研究它的微小转变对模型结果的阻碍，讨论决策变量(价钱和广告费)关于m这一数据的灵敏性。问题三模型的成立在模型中咱们假设b=2OO台，将其带入前而的公式中，咱们取得：R)=Q5O次00004-50xx+0_02jr)-(50000问题三模型的求解令P关于x,y的偏
10、导数为零，那么:QP瓦=-100x-上-+2500=010000dP= 40i-1 = JL10000约束方程为：y=50000联立求解得x=25-0-056运算机批发价钱降低量x关于介数m的曲线图如图3所示:同理，能够用相对改变辆衡量结果对参数的灵敏程度，x对a的灵敏度记作S(x,b),概念为qjc/xdbtbS（不端=阳一x-b/hdb当x=15,b=200时,200S（若为=-0-05x=-0,67问题三分析和验证当每增加10000美元/月广告费时可多销售200台基础上增加运算机批发价钱应在935美元基础上降低乐而价钱弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无阻碍。问题四
11、模型的成立与求解在问题一中求出来的乘子的值为为=3-7：其意义为广告费用的限额每增加1个单位，那么利润增加额为0=3-7万美元，这确实是影子价钱。它代表了对那个公司来讲某种资源（广告费用）的价值。若是公司成心提高自己的广告费用（这是最关键的约束），它会情愿付出每单位不超过美元的价钱来增加自己的广告费用。六、模型的评判与推行6模型的评判此题咱们利用有约束最优化模型求解,前而咱们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确信性数据的稳固性，决策变量（价钱和广告费）关于价钱弹性系数（数据50Q的灵敏性，和决策变量关于广告商估量的每增加10000美元/月的广告费，可多售200分这一数据的灵敏性都做了灵敏性分析，
12、结果不稳固因素对它们的阻碍都很小，能够忽略不计。前面咱们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确信性数据的稳固性：此刻咱们来看看其他类型的假设。它们可能来自于数学处置的方便和简化的目的，在回答下列问题以后，应该考察这些假设是不是过于特殊，以致使结果无效。在前而的假设中，极为重要的假设确实是：运算机的销售数量是销售价钱降低量的线性函数、运算机的销售数量是广告费用提高量的的线性函数，如此做显然过于简单化，不可能严格知足。因此，一个更实际的模型应该既考虑这些函数的非线性性，而且考虑到随着时刻推动的不确信性的增加。若是假设是错的，模型又怎能给出正确的答案呢？尽管数学模型力求完美,但这是不可能达到的，一个更确切的说法数学模型力求接近完美。一个好的数学模型有稳健性，是指尽管它给出的答案并非是完全精准的，但足够近似从而能够在实际问题中应用。
