《清单32 双曲线(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清单32 双曲线(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、清单32双曲线一、知识与方法清单1双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在【解读】双曲线定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.【对点训练1】(2022届广西高三上学期开学联考)已知,是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上的一
2、点,且；则C的离心率为（ ）A1B2C3D42双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0,cb0)【对点训练2】(2022届云南民族中学高三适应性月考)已知双曲线：的渐近线方程为,则的焦距等于（
3、 ）AB2CD43. 求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2By21(AB0),这样可以简化运算.【对点训练3】双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为（ ）ABCD4.在“焦点三角形”中,常利
4、用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系【对点训练4】（2022届重庆实验外国语学校高三上学期入学考试）如图,O是坐标原点,P是双曲线右支上的一点,F是E的右焦点,延长PO,PF分别交E于Q,R两点,已知QFFR,且,则E的离心率为（ ）ABCD5.双曲线渐近线的说明(1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.(2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确定焦点位置.(3)求渐近线的方程,常把双曲线的方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程, (4)如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方
5、程,可设双曲线方程为(0),再由条件求出的值即可(5)与双曲线1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示(0)【对点训练5】（2022届广东省深圳市高三上学期质量检测）已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直,则_.6.求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a,c,再计算e= . (2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成关于的齐次方程,再转化为离心率e的方程求解,另一种方法是利用离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.【对点训练6】(2021届陕西省榆林市高三下学期模拟)已知F是双曲线的左焦点,A,B分别是C的左,右顶点,若,则双曲线C的离心率为（）
6、AB2CD37.求离心率的范围,一般根据条件建立a,b,c的不等式,再转化为关于e的不等式,通过解不等式求得离心率的范围,求解时应找好题中的等量关系或不等关系,构造出关于a,c的齐次式,进而求解.要注意对题目中隐含条件的挖掘,如对双曲线上点的几何特征2c的运用.【对点训练7】（2022届广西玉林市高三9月月考）已知双曲线的左、右焦点为,在双曲线上存在点满足,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD8.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.特
7、别提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.【对点训练8】（2021届辽宁省铁岭市二模）（多选）设,分别是双曲线的左右焦点,过作轴的垂线与C交于A,B两点,若为正三角形,则（ ）ABC的焦距为CC的离心率为D的面积为9.直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.(1)0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)0时,直线与双曲线没有公共点.【对点训练9】（2022届江苏省南京市高三上学期零模）已知双曲线过点,且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为（1）求双曲线的方程；
8、（2）过点的直线与双曲线左支相交于点,直线与轴相交于两点,求的取值范围10.当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.特别提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.【对点训练10】（多选）已知中心在原点,坐标轴为对称轴的双曲线过点,顶点分别为,焦点分别为,一条渐近线方程为,则下列说法正确的是（ ）A该双曲线的方程为或B若点为双曲线上任意一点（顶点除外）,则C若直线过点且与双曲线只有一个公共点,则这样的直线只有2条D若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外）,则双曲线在点处的切线平分11. 双曲线1(a0,b0)的焦点F到渐
9、近线距离.【对点训练11】设,是双曲线的左、右焦点,是坐标原点过作的一条渐近线的垂线,垂足为若,则的离心率为（ ）ABCD12.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1)给出直线的方向向量或；(2)给出与相交,则已知过的中点;(3)给出,则是的中点;(4)给出,则与的中点三点共线;(5)给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,则三点共线.(6)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,则是锐角,(7)给出,则是的平分线/(8)在平行四边形中,给出,则是菱形;(9)在平行四边形中,给出,则是矩形;(10)在中,给出,则是中边的中线;【对点训练12】（2022届重庆市西南大学附
10、属中学高三上学期开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,点M是双曲线右支上一点,满足,点N是F1F2线段上一点,满足现将MF1F2沿MN折成直二面角,若使折叠后点F1,F2距离最小,则为（ ）ABCD13.双曲线中的结论(1)点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.(2)PT平分PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.(3)以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）(4)若在双曲线（a0,b0）上,则过的双曲线的切线方程是.(5)若在双曲线（a0,b0）外 ,则过作双曲线的两条
11、切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.(6)设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MFNF.(7)过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.(8)AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即.(9)若在双曲线（a0,b0）内,则被 所平分的中点弦的方程是.(10)若在双曲线（a0,b0）内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.(11)双曲线（a0,b0）的两个顶点为
12、,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.(12)过双曲线（a0,b0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且（常数）.(13)P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.(14)双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.(15)已知双曲线（ba 0）,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.;|OP|2+|OQ|2的最小值为;的最小值是.(16)过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于
13、P,则.(17)已知双曲线（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.(18)已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.(19)过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.(20) 13.双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径,分别记作r1|PF1|,r2|PF2|,则1(a0,b0),若点P在右支上,则r1ex0a,r2ex0a；若点P在左支
14、上,则r1ex0a,r2ex0a.1(a0,b0),若点P在上支上,则r1ey0a,r2ey0a；若点P在下支上,则r1ey0a,r2ey0a.【对点训练13】(2021届江苏省南京市三校2021届高三下学期考前模拟联考)（多选）已知双曲线,为双曲线上一点,过点的切线为,双曲线的左右焦点,到直线的距离分别为,则（ ）AB直线与双曲线渐近线的交点为,则,四点共圆C该双曲线的共轭双曲线的方程为D过的弦长为5的直线有且只有1条二、跟踪检测一、单选题1已知方程1表示双曲线,则k的取值范围是（ ）ABCD2惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的,建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊,你永无止境的爱是多么的珍贵,人们在你雄伟的翅膀下避难”若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（,）下支的一部分,且此双曲线的离心率为,过点,则此双曲线的方程为（ ）ABCD3已知是双曲线：上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是（ ）A
