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1、人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 一元二次方程全章知识点专题复习 1. 理解一元二次方程定义； 2. 会解一元二次方程； 3. 会根据根的判别式2 4b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题. , ? ? ?解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题 第1讲 一元二次方程的概念 1、一元二次方程的一般形式：2 00),ax bx c a a b c +=（ 其中是常数. 2、在一般式中，当b 0时，则有22 0c 00ax c ax bx +=+=或当时，则有，这两种情况都是一元二次方程. 例1 例2
2、判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程. 222222222 13;(2)50;(3)235;(5)2(3)21; 511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0) x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=-=-=+=-=+=-+=+=（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数 是2. 解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得6x 1，方程（8）中未确定ab0，
3、因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程. 例3 方程 2 5)(3)(3)50.m m m x m x -+-+=（ （1） m 为何值时，此方程为一元二次方程 （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程 分析：形如0n ax bx c +=的方程，当n 2且a0时为一元二次方程；当a 0时且b0时为一元二次方程. ， 解：（1）当m 22时，m 4，这时5)(3)0.m m -（当m 4时，此方程为一元二 次方程. （2）5)(3)0,20,2m 30m m m m -=-当（为自然数，且时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m -=（得或，又因为3，当m 5时
4、，此方程为一元 一次方程. 例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.） 分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程. 解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x 20）米.根
5、据题意德 22402240 220x x -=-，整理，得 22022400x x -= 一、选择题 1一元二次方程得一般形式是（ ） A.20x bx c += B.2 0ax bx c += C. 2 0()ax bx c a o += D.以上都不对 2下列方程为一元二次方程的有（ ） A.2 1 102x x - += B. 2 52ax bx c += C.()2 19x -= +y=0 3.关于x 的方程23 2 23 2 (m n m x mx m x nx px q +=+-+其中），经化简整理，化为 200)ax bx c a +=（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分
6、别是（ ） n ，p ，q B. m n ，p ，q n ，p ，q n ，p ，q 4将一元二次方程2 1x 2x 302 -+=的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ） A. 2 x 2x 30+= B. 2 x x 60+=4 C 2 x x 60=4 D 2 x x 60-=+4 二、填空题 5方程2 4x 0=是_元_次方程，二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_. 6.当m_时，方程 2 m-1)x 21)x 0m m -+=（(不是关于x 的一元二次方程；当m_时，上述方程才是关于x 的一元二次方程； 7.若方程22 x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k
7、的取值范围是_; 三、解答题 8若方程1 (3)x 230k k x -+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值. : 9若关于x 的一元二次方程2 2 (a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值. 10某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场， 网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式. . 第2讲 配方法 1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2 b(0)x a b +=的形式，则x 0)a b -. 2、配方法解一元二次方程：利用公式2 2 2 a 2()a b
8、 b a b +=，把一元二次方程转化为 2()(0)x a b b +=，再利用直接开平方法解方程. 例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q +=2 分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2 x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程. 、 解： 2 2221212x , x (), 244q x , 24 4q p 400,4 x (2)p 40x 2 3
9、p 40px q p p px q p p p q x p q x q +=-+=-+-对于任何实数，总有即 8用配方法解下列方程 2(1)2360;x x -= 221 (2) 20;33 y y -= $ 2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y += 9.用配方法证明2 1074x x -+-的值恒小于0. % 10.来自信息产业部的统计数字显示，2022年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2022年全年手机产量的80，预计到2022年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率. 第3讲 公式法 1公式法：一般地，对于一元二次方程
10、、 2 2 1200),b 4ac 0x ax bx c a +=，（当时， 22b 4ac 0当=，方程可用公式法求解；当2 b 4a c 00,-2x= 22原方程可化为（-1)=120, -（x= 2 22221210, 1,1,1,414?1?(12 1122x x a b c b ac x x +-=-=-= -+-=将原方程可化为-1)=50,x 例2 阅读下面一段材料，并解答问题. 22 (1) 1,4,10,4(411080, x x a b c b ac x =-=-=-?= =1=2 2 2220(0)40,4200(0,)ax bx c a x b ac b ac b x
11、 a a ax bx c a a b c +=-?=?+= 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根 的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根. 此外,若均为整数 应当22 2 121242,(1)10,: 4 ,? ,? :,b ac b a k x x k x k x x x x k ?=-?-+=?注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 为何值时方程有两个实数根 若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对122 2 12
