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1、极值点偏移的纯偏移型解法湖北安陆一中伍海军（QQ：597917478）整理什么是极值点偏移 我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点，若f(x)=c的两根的中点为，则刚好有=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；而函数的极值点=1刚好在两根的中点的左边，我们称之为极值点左偏. 按极值点的偏移来分:分为两类：左偏；右偏1时，f(x)g(x);(3)若，且f()=f(),证明：+2.解：（）f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表:X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(
2、1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)；令F(x)=f(x)-g(x),即；于是；当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数.又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.【练习1】已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（I） （i）若单调增加.（ii）若且当所以单
3、调增加，在单调减少. （II）设函数则当.故当， （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知， 【例2】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：若，且f()=f()时，则+0.解：(1)函数f(x)的定义域为(，)f(x)exexexex.当x0；当x0时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)(2)证明：当x0，ex0，故f(x)0；同理，当x1时，f(x)0.当f(x1)f(x2)(x1x2)时，不妨设x1x2，由(1)知，x1(，0)，x2(0，1)下面证明：x(0，1)，f(x)f(x
4、)，即证exex.此不等式等价于(1x)ex0.令g(x)(1x)ex，则g(x)xex(e2x1)当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减，从而g(x)g(0)0，即(1x)ex0.所以x(0，1)，f(x)f(x)由x2(0，1)，所以f(x2)f(x2)，从而f(x1)f(x2)由于x1，x2(，0)，f(x)在(，0)上单调递增，所以x1x2，即x1x20.【练习2】已知函数，其中图像与x轴交于A()，B（），且.证明：；【练习3】已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.解:不妨设由题意知.要证不等式成立，只需证当时，原不等式成立即可.令，则，当时，.即.令，则,即.而，且在上递增，故，即.极值点偏移的的纯偏移型解法步骤： 1.构造一元差函数或是；2.对差函数F(x)求导，判断单调性；3.结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定与的大小关系；4.由_=的大小关系，得到_，（横线上为不等号）；5.结合f(x)单调性得到_，进而得到_.3
