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1、解决多元条件最值问题的基本策略案例湖州一中陆剑钢一、教学目标1、通过“自主练习与策略归纳”中两个简单问题的自主解答、归纳方法，进一步体会代数和几何两大思想的相互渗透在解决多元条件最值问题中的重要作用，培养多角度分析问题的意识.2、在“思想细分与基本策略研究”环节中，通过交流合作、教师点拨逐步学习函数、方程、基本不等式等解决该问题的基本策略，掌握在题设特征动态变化中各基本策略的优劣与联系.3、在“自我诊断”环节中，通过独立思考与解题，进一步加强对基本策略的理解，锻炼合理运用基本策略的能力.4、在“代数”和“几何”两大数学思想的基础上，通过进一步细分而形成的多种基本策略的探索过程，体验思维产生、发
2、展和深化的过程，锻炼解题方法、技巧、规律的归纳能力，领悟基础知识、基本思想、基本方法的价值二、重点与难点1、重点：解决多元条件最值问题的基本策略2、难点：在题设特征的动态差异下作出基本策略的合理抉择三、教学过程学前自主阅读与理解：多元条件最值问题是指在二元约束条件Fx,y0下，求二元目标函数zfx,y的最值.从高等数学的角度来看，是在空间直角坐标系中，求一个曲面zfx,y上对应于约束曲线Fx,y0的一条空间曲线的最高（低）点.一般情况下，需要用多元微积分知识才能解决.但中学里讨论的是特殊情形，可以在空间问题平面化的思想下寻找解决办法.但鉴于解决办法具有多样性和技巧性，故本课重点针对容易理解和掌
3、握的几种基本策略进行介绍.自主练习与策略归纳已知x,yR，且x2y1，求x2y2的最值已知x,yR，且x2y21，求x2y的最值【设计意图】通过解决简单问题，让学生归纳尽可能多的方法，进一步强化运用代数与几何两大数学思想的意识思想细分与基本策略研究例1:已知x,yR,若4x2y2xy1,求2xy的最大值.方程策略：构造二次方程，转化成方程有解的问题规划策略：设目标函数的值为一系列数值，得到一个直线族，从直线族中寻找一条和约束曲线有公共点,且处于极限位置的直线y2xt,代入条件，并化简得6x23txt210,因xR,所以 9t2 24t2基本不等式策略:0,得一所以tmax手由于约束条件和目标函
4、数的结构具有很强的联系,可借助基本不等式，求出目标函数的最值条件可化得2x y23xy1,又2xy取得最大值时，x,y必定大于0,所以2xy2河,消去xy,并令t2xy可得到关于t的不等式t21t21,两边平方得t25,所以tmax故可引入参数，用三角代参数策略：由于约束条件可转化为平方和为定值的形式,换分别表示x,y.条件转化为2手x2 1,令yx一 cos2,15r，则xsin ，可得2cos1.八=sin ,所以 2x y .153.一 sin .152.10 .cos sin5可得2x 丫 max2.105三角形策略：约束条件可转化成余弦定理的形式，通过构造三角形解决问题约束条件可化为
5、2x2y222xyABC,使得各边长如图所示,1cosA一4易得sinA在ABC中，由正弦定理有2x产15sinBsinC48.BCBC8A2.10,出口小业所以2xysinBsinCsincoscos（当且仅当151522,1525B=C,即y=2x时，2xy取得最大值）、44亦可有2xysinBsinCsinBsinAB157.15故2xyymax5【设计意图】本例的解析，教师可根据“自主练习与策略归纳”以个性化处理，体现“学生先行，交流呈现，教师点拨（断后）中学生归纳方法的情况加”的教学策略.例2:（三元条件最值问题）已知a,b,cR,满足abc0,a2b2c21,求a的最大值.方程策略
6、：消元，构造一个以a为系数的一元二次方程一，r02可得a2,所以amax3均值不等式策略：利用bcJb_c!,可得a22,所以amax.2123max3解析几何策略：视bx,cy,则可理解为直线xya与圆x2y21a2相交,a=J1a2,可得a2【设计意图】本例拓展至三元条件最值问题，帮助学生拓宽视界的同时，进一步深化基本策略的运用，教师可根据学生实际开展个性化的教学自我诊断1、已知x,y0,且xyxy0,求xy的最小值.2、对于c0,当非零实数a,b满足4a2的最小值为2c，口32ab4b2c0,且使2ab最大时，一a2 32a b 2 - 2b 2a b222 3 2b 2a b2a b
7、22简析:基本不等式策略：c4a22ab4b22ab23b2ab5c,2,345一2ab,当且仅当2a3b时，故一一8abc方程与规划策略：设_224a218at4t2三角形策略:因为略参数策略:2ac.Jmint2a0,b,则b2at,代入4a22ab4b2c0,得0可得t22a3b时，下同本题2a22b222a2b一2w;C,所以构造三角形，下同例1策21b22a-b2c,引入参数4-b.ccos2,下同例1策略,15b.csin2【设计意图】检验对基本策略的掌握情况，加深对基本策略的理解，锻炼运用能力解决多元条件最值问题的基本策略序号策略目的或步骤1方程策略转化成一个一元二次方程有解的问题.2函数策略转化成一个显函数的最值问题.引入参数，分离变量，再转化成关于参数的函数的最值问题.3基本（均值）不等式策略抓住约束条件与目标函数特征与联系，利用或构造基本（均值）不等式解决问题.4规划策略设目标函数的值廿-系列数值，形成一个直线（曲线）族，从族中寻找一条和约束曲线有公共点，且处于极限位置的直线（曲线）.5三角形策略将约束条件转化为余弦定理的形式，构造三角形解决问题.6解析几何策略将约束条件视为或转化为曲线方程，利用目标函数的几何意义解决问题.
