矩形性质的应用

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1、矩形性质的应用矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。例1、已知：如图，在矩形ABCD 中， AC 、BD是对角线，过顶点C作BD 的平行线与 AB的延长线相交于点E。求证： ACE 是等腰三角形分析一 欲证 ACE是等腰三角形， 即证 AC=EC 。 因 AC是矩形 ABCD 的对角线，则AC=BD 。问题转成证 BD=EC 。而这两条线段恰是四边形BDCE 的对边，考虑证它是平行四边形。证法一 BD EC，BEDC 四边形 BDCE 是平行四边形 BD=EC 四边形 ABCD 是矩形， AC=BD AC=EC ， ACE 是等腰三

2、角形分析二 欲证 AC=EC ，需证 CAE= E，因为 CEBD，所以 E=DBA ，需证 DBA=CAE 。需证 OA=OB 。证法二 四边形 ABCD 是矩形 OA=AC ，OB=BD ，AC=BD OA=OB 。 CAE= DBA CEBD ， DBA= E CAE= E， AC=EC 即 ACE 是等腰三角形点评 对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。解法往往比较简单。如证法一是利用矩形、平行四边形的性质证明的。对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。例 2、已知：如图，矩形ABCD 中， A

3、C 、BD相交于点 O，AE平分 BAD ，若 EAO=15 ，求 BOE的度数。分析 BOE 是 OBE的内角，要求 BOE的度数，需求 OBE、 BEO， 或找出它们与BOE的关系。 由于题设可得OBE=ODA= OAD=30 ，而 BEO不易求出。因此，需找出BEO与 BOE 的关系。解AD BC， DAE= AEB AE平分 DAB ， DAE= BAE BAE= AEB ， AB=BE BAD=90 ， BAE= EAD BAE=45 EAO=15 ， BAO=45 +15=60 OA=OB ， AOB 是等边三角形 BO=AB AB=BE ， BO=BE， BOE=BEO ABE=90 ， ABO=60 OBE=30在 BOE中 BOE+BEO+ OBE=180 BOE=（180-OBE）=75