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1、 数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 16 页） 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题
2、 5 分，满分 40 分。 1B 2B 3D 4B 5D 6C 7A 8D 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9ABD 10AC 11BD 12ACD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132；143,13；15答案不唯一，如： 11,1,11,21,1xxf xf xxxx 等； 165；54 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，
3、考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性满分 10 分 解法一： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以21nnnnSSSS， 1 分 所以211nnnaaa， 3 分 即212nnaa ，设 na的公比为q，则2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 13 399224410 10Ta ba ba ba ba ba b 8 分 13924102525aaaaaa
4、 13913925225aaaaaa 9 分 13925aaa 391 2225 2 所以35111041 22252T ， 数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 16 页） 两式相减得53591111111021414232222525221433T ， 所以11101422 +318699T 10 分 解法二： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以122nnnSSS， 1 分 设 na的公比为q， 若1q ， 则2,2nnaSn ，1246,24nnnSSnSn ， 所以122nnnSSS， 与122nnnSSS矛盾，不合题意； 2 分 若1q ，则111nnaqSq，+1+2
5、111211,11nnnnaqaqSSqq， 3 分 所以+1+21111121111nnnaqaqaqqqq， 整理得，+1+22nnnqqq， 即220qq， 解得1q （舍去）或2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 1223 3445 566778 89910 10Ta ba ba ba ba ba ba ba ba ba b 8 分 1234567891023+45aaaaaaaaaa 9 分 23456122222322 78910422522 35791 2223 24252 2
6、 1696512+2560 3186 10 分 解法三： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以212nnnSSS， 1 分 当1n 时，1322SSS，化简得322aa ， 2 分 设 na的公比为q，所以2q ， 4 分 当2q 时，1223nnS ，因此122223nnS ， 1322+2+1222222242+=3333nnnnnnSS ， 满足212nnnSSS，故2q 符合题意 所以12( 2)( 2)nnna 6 分 数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 16 页） （2） 依题意，11b ，21b ，32b ，42b ，53b ，63b ，74b ，84b ，95b
7、，105b ， 7 分 所以 2345678910102( 2)2( 2)2( 2)3 ( 2)3 ( 2)4( 2)4( 2)5( 2)5( 2)T 8 分 2345678910 2( 2) 2 ( 2)( 2) 3 ( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 5 ( 2)( 2) . 9 分 4579223 2425 2 2 16965122560 3186 . 10 分 18本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核
8、心素养；体现应用性和创新性满分 12 分 解法一： （1）甲滑雪用时比乙多5 36180秒3分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中 4 发子弹 设“甲胜乙”为事件 A，“在第四次射击中，甲有 4 发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件 B， “在第四次射击中，甲有 5 发子弹命中目标，乙至多有 1 发子弹命中目标”为事件 C， 1 分 依题意，事件 B 和事件 C 是互斥事件，A=B+C， 2 分 4555411551414113B,C5545444PCPC， 4 分 所以， 69ABC12500PPP. 即甲胜乙的概率为6912500. 5 分
9、 （2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则1120,20,54XBYB， 7 分 所以甲被罚时间的期望为111 2045EX （分钟） ， 8 分 乙被罚时间的期望为111 2054EY （分钟） ， 9 分 又在赛道上甲选手滑行时间慢 3 分钟， 所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟. 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 16 页） ONPDCBVAM（2）设甲在一次射击中命中目标的子弹数为，则45,5B，所以4545E ，所以甲在四次射击
10、中命中目标的子弹数的期望为416E， 7 分 设乙在一次射击中命中目标的子弹数为，则35,4B，所以315544E ，所以乙在四次射击中命中目标的子弹数的期望为415E， 9 分 所以在四次射击中，甲命中目标的子弹数的期望比乙多 1，所以乙被罚时间的期望比甲多 1 分钟，又因为在赛道上甲的滑行时间比乙慢 3 分钟，所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟， 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，
11、函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）如图，在VAC内过P作PMVC，垂足为M， 在VBC内过M作MNVC交VB于N， 连结PN，则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下：因为PMVC，MNVC，PMMNM， 所以VC 平面PMN， 由于过空间一点与已知直线垂直的平面有且只有一个， 所以平面PMN与平面重合， 因为平面PMN平面VABPN，所以直线PN即为直线l. 4 分 （2）因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC， 又因为VCVC,所以VACVBC， 所以PVMNVM， 又VMVM，所以RtRt
12、VPMVNM，所以VPVN，所以23VNVB. 5 分 如图，设AB的中点为D，连结,VD CD， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD， 因为AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD， 所以VO 平面ABC， 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD. 7 分 因为VAB和ABC均是边长为4的等边三角形，所以2 3VDDC, 所以VCD是等边三角形，所以3VO ，3DOOC. 以O为原点， 分别
13、以,OC OV的方向为y轴和z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标lNPAVBCM 数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 16 页） lQNPAVBCGNPODAVBC系Oxyz， 则2,3,0 ,2,3,0 ,0, 3,0 ,0,0,3ABCV， 8 分 所以0,3,3 ,2, 2 3,0 ,4,0,0 ,CVCAAB 1245 3,13333CPCVCA ,28,0,033PNAB. 过l及点C的平面为平面CPN， 设平面CPN的法向量为( , , )x y zn， 则0,0,CPPNnn即45 30,3380.3xyzx取(0, 3,5)n， 即平面CPN的一个法向量为(0, 3,5)n
14、. 10 分 易知，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m， 11 分 所以55 7cos,142 7m nm nmn， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分 解法二： （1）如图，在VAB内过P作PNAB，交VB于N， 则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下： 取VC的中点Q，连结,AQ BQ， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAAC VBBC，所以,VCAQ VCBQ， 又因为AQBQQ，所以VC 平面ABQ， 又因为VC 平面，所以平面平面ABQ， 又因为平面平面VABl，平面ABQ平面VABAB， 所以ABl，所以直线PN即为直线
15、l. 4 分 （2）由（1）知，PNAB，因为23VPVA，所以23VNVB. 5 分 设AB的中点为D，连结VD，交PN于G，连结CG， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD，AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD，所以VO 平面ABC， yzNPODAVBCx 数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 16 页） 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD， 7 分 因为VAB和ABC均是边长为
16、4的等边三角形，所以2 3VDDC,3VDC， 因为ABPN，所以12 333DGDV由（1）知，过l及点C的平面为平面CPN， 因为AB 平面CPN，PN 平面CPN，所以AB平面CPN， 8 分 设平面CPN平面ABCl，因为AB 平面ABC，所以ABl， 因为AB 平面VCD，CG 平面VCD，CD平面VCD，所以,ABCG ABCD， 所以,CGl CDl，又因为CG 平面CPN，CD平面ABC， 所以GCD为平面CPN与平面ABC所成的锐二面角的平面角， 10 分 在GCD中， 由余弦定理得，2222cosCGDGDCDG DCGDC，2 213CG , 11 分 所以2225 7cos214CGDCDGGCDCG DC， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分 20本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）在ABC中，由余弦定理得222cos2acbBa
