第八讲 相似多边形与相似三角形一、新知探索与考点剖析考点一：相似多边形（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.① 从图形上讲：一般而言，形状 的图形称为相似图形.② 从边、角上讲：对应角相等，对应边成比例的两个图形叫做相似图形.③ 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.（2）性质：相似多边形的对应角 ，对应边 .例1．下面各组中的两个图形，形状相同的图形是（ ） 例2．（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似； ②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似； ④所有的三角形都相似； ⑤所有的等腰直角三角形都相似；⑥所有的正五边形都相似．其中正确的命题有______________________．（2）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,相似比为4:3，①若∠A′=65°,则∠A=___________； ②A′B′=6 cm,则 AB=___________；③若四边形ABCD周长为64cm,则四边形A′D′、B′C′的周长为______________．例3．E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，（1） 求长方形ABCD长AD与宽CD的比；（2） 当AB=1时，求矩形ABCD的面积.◎变式提升训练◎1. 如图，已知四边形ABCD∽A’B’C’D’, 则x= ，y= ，= ．（1）定义：① 对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形.② 相似三角形 叫做相似比.（2）性质：①相似三角形的对应角 ，对应边 . ②，，则______.③相似三角形周长 (对应中线、角平分线、高) 比等于相似比，④面积比等于相似比的平方.考点二：相似三角形例4. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长. ◎变式提升训练◎1． 如图，点C、D段AB上，且ΔPCD是等边三角形.当ΔAPB∽ΔACP时，则∠APB=_________.第1题第2题第3题2.如图，已知点D在AC上，且△ABD∽△ACB，AB=2，AD=1，求CD的长.3.如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．二、易错点、考点强化提升ADCMNB例6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一点，MN∥BC交CD于N.若AD=2，BC=8，M点在何处时，MN所分梯形AMND与梯形MBCN相似？◎变式提升训练◎如图，在△ABC中，已知∠ACB=900，过C作于，过点作于过作于，这样继续下去.（1）判断图中的这些三角形的形状都相同吗？（2）若∠B=30°，AC=1，求线段(n为正整数)的长度.◎素质能力测试◎一、选择题：1．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，EF∥AD交AB、CD于E、F，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则EF等于（ ）．A． B． C． D．不能确定2. 如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,且△ADE∽△ABC,则梯子的长AB=( )A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于( )A. B. C. D.4. 一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种 B.两种 C.三种 D.四种二、填空题1．两个相似多边形的相似比是，则这两个多边形的对应对角线的比是________．2．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶，则BD∶A′C′=____________．三、解答题1．在一矩形ABCD的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由.2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB． ——相似多边形与相似三角形 姓名：______一、选择题：1．下列图形中一定相似的是（ ）A．有一个角相等的两个平行四边形 B．有一个角相等的两个等腰梯形C．有一个角相等的两个菱形 D．有一组邻边对应成比例的两平行四边形2．下列结论不正确的是（ ）．A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是（ ）．A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 D．2∶54．若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）．A．3AB=4DE B．4AC=3DEC．3∠A=4∠D D．4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_____米．二、解答题1．已知：△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15 cm，求△A′B′C′的周长．2.已知,△ABC的三边长分别为、、2，的两边长分别为1和，试求的第三边长.3. 如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF．若△ABC的边长为a．（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积．（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？。