《第17周------正方形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第17周------正方形（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 七 周 正方形知识点1：正方形的定义和性质课标要求：1、能说出正方形的定义和性质。2、会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。要点聚焦1、正方形既是矩形，又是菱形。（特殊的矩形邻边相等的矩形，特殊的菱形有一个解决是直角的菱形）2、正方形具有矩形和菱形的一切性质（1）边四边都相等，邻边垂直，对边平行。（2）角四个角都是垂直。（3）对角线对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。（4）对称性是轴对称图形，有4条对称轴。特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形。对角线与边的夹角是45，正方形的两条对角线把正方形分成四个等腰直角三角形。例1 例1如图，已知过正
2、方形ABCD对角线BD上一点P，作PEBC于E，作PFCD于F，求证：AP=EF。【思路点拨】由PEBC，PFCD知四边形PECF是矩形，故EF=PC，这时只需证AP=CP，由正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分可知AP=CP。【正确解答】证明：连结AC、PC四边形ABCD为正方形BD垂直平分ACAP=PCPEBC,PFCD, BCD=90四边形PECF为矩形PC=EFAP=EF思考：当点P在DB的延长线上时，该结论还成立吗？【总结提升】在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；无论是正方形还是矩形，经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中。【举一反三】1、在正方形ABCD外
3、以CD为边作等边CDE，求AED的度数。2、如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，点F在CD上 ,且CE=CF，求证：（1）BF=DE; （2）BFDE。3、如图，已知四边形ABCD为正方形，P为BC上一点，BFAP。（1）求证：BF=AP；（2）若平移直线BF，使它和AB相交于点E，判断EF和AP的数量关系，并证明你的结论。【答案提示】1、由已知正方形ABCD和等边CDE可得AD=DE，ADE=90+60=150，ADE=DAE=152、（1）由正方形ABCD得BC=DC，BCF=DCE=90, CF=CE, BCFDCE,BF=DE.（2）延长BF交DE于H，由BCFDCE，FBC=
4、CDE, DEC+CDE=90, DEC+FBC=90, BHE=90即BFDE。3、（1）四边形ABCD是正方形，AB=AC，ABP=90, 1+3+90, BFAP, 2+3=90, 1=2, ABPBCF, BF=AP.（2）EF=AP，过B作BHEF交DC于H，证明BH=EF，再证BH=AP，方法同（1）.例2在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；无论是正方形还是矩形，经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中。【思路点拨】由于E、F分别是正方形ABCD边上的特殊点，故可以考虑证明EFC是直角三角形或直接证明EFEC，所以可以借助于它们之间的数量关系用勾股定理的逆定理求
5、解或添加辅助线移动AF或BE的位置构造新的图形关系，从而直接证明。【正确解答】证明：设正方形边长为4aEj AB的中点，AF=ADAE=EB=2a，AF= a, FD=3a在RtAFE，RtBEC和RtDCF中EF=AF+AE=a+（2 a）=5aEC=EB+BC=（2 a）+（4 a）=20aFC=FD+DC=（3a）+（4 a）=25a由于5a+20a=25a得EF+EC=FCEFC是直角三角形，且FEC=90，即EFEC本题另有其他证法，如图、所示，由同学们自己完成。【总结提升】对于正方形的有关问题，因为其图形性质特殊，故解题时多考虑其特殊性质；有时用代数法解几何问题更显简捷易懂。【举一
6、反三】1、如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，H为AB的中点，G为BC上一点，且BG=GC，求SDHG.2、如图，把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，且A1、B1、C1、D1分别在正方形的边上，得一四边形A1B1C1D1，试问怎样剪，才能使剩下的四边形仍为正方形，且剩下的面积为原来正方形面积的，请说明理由。（写出证明及计算过程）3、如图，取一张正方形纸片ABCD，按下列步骤折纸：（1）对折E为BC中点；（2）边结DE，沿DE将DC翻折到DF位置；（3）翻折AD，使AD与DF重合，若正方形边长为10cm，求EC、BG、AG的长。【答案提示】1、利用勾股定理求DHG的各边长，再
7、证明DHG为直角三角形，得SDHG=5cm2、剪法是：当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，四边形A1B1C1D1为正方形，且S=，在正方形ABCD中，AB=AC=AD=DA=1，A=B=C=D=90. AA1=BB1=CC1=DD1，A1B=B1C=C1D=D1A1，D1 A A1A1BB1B1CC1DC1D1, A A1 D1+B A1 B1=90，即D1A1 B1=90，四边形A1B1C1D1为正方形，设AA1=x，则AD1=1x，正方形A1B1C1D1的面积为，SAA1D1.=即x（1x）=，解得x1=x，x2=，当AA1=时，AD1=,当AA1=时，AD1=.当AA1= BB1=
8、CC1= DD1=或时四边形A1B1C1D1是正方形，且面积是原来的.3、EC=BC=5cm , 设BG为x , 则AG=10x , GE=（10x）+5=15x,由勾股定理GE=BG+BE得（15x）=x+5，x=(cm)，AG=10=(cm).知识点2：立方根的定义与性质。课标要求：了解立方根与开立方的意义，会用符号表示立方根。会验证一个数是否是某数的立方根。已知四边形ABCD中，AB=BC=CD，B=90，根据这样的条件，你能判定这个四边形是正方形吗？若能请你指出判定的依据；若不能，请举出一个反例（即画出四边形满足上述条件，但不是正方形），并指出再添加一个什么条件，就可以判定这个四边形是
9、正方形？你能指出几种情况。【总结提升】此问题是一开放性问题，思考方向不确定，可根据正方形的判别方法，结合条件先猜想再推理。【正确解答】解：不能判定它是正方形，如图所示，再添加AD=AB或C=90或ABDC或AC、BD互相平分都能判定四边形ABCD是正方形。【总结提升】开放性或探索性问题要结合图形的性质或判定，分析所需哪些条件？【举一反三】1、如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形ABCD的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么ABCD绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积是否随着转动而改变呢？若不变总等于一个正方形面积的几分之几？想一想这是为什么？2、一位女士想买一条方纱布，有一
10、天她在商店里看到一块漂亮的纱巾非常想买，但当她拿起来看时觉得纱巾不太方，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让女士看另一组对角是否对齐（如下图），女士还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让女士检验，女士终于买下这块纱巾，你认为女士买下的这块纱巾是正方形吗？当时采用什么方法可以检验出来？3、四边形EFGH是由矩形的外角平分线围成的，判断四边形EFGH是什么四边形，并说明理由。【答案提示】1.不改变，总等于正方形面积的，理由：设OA交AB于F，OC交BC于E，由正方形的特征可得AOFBOE，是旋转对称图形，所以S阴影=SAOB = S正方形ABCD2.根据老板的方法只能说明这块纱巾的两组
11、对角分别相等，四条边都相等，也就是纱巾的两条对角线是对称轴。这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形，因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线，所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合，若另一组对边显然不能重合，那么纱巾就不是正方形，若另一组对边能重合，那么纱巾就是正方形。3、四边形EFGH是正方形，理由：矩形ABCD的外角都是直角，HE、EF都是外角平分线，BAE=ABE=45, E=90，同理可证F=G=90，四边形EFGH是矩形，AD=BC，HAD=HAD=FBC=FCB，ADHBCF，AH=BF，四边形EFGH是正方形.本 周 创 新例
12、1如图，已知四边形ABCD中，M、N、E、F分别为四边中点，BD、AC是对角线。（1）要使四边形MNEF为矩形还需添加什么条件，为什么？（2）要使四边形MNEF为菱形还需添加什么条件，为什么？（3）要使四边形MNEF为正方形还需添加什么条件，为什么？【思路点拨】由于M、N、E、F为各边中点，由三角形中位线性质易得四边形MNEF为平行四边形，且其边分别与AC、BD平行，故四边形MNEF的形状受AC、BD的影响.【正确解答】解：ABD中，M、N是AB、AD的中点MN是ABD的中位线MNBD，同理EFBD，NEAC，MFAC四边形MNEF为平行四边形（1）要使四边形MNEF为矩形需添加条件“ACBD
13、”当ACBD时，由于 MNBD，MFACMNMF MNEF为矩形（2）要使四边形MNEF为菱形需添加条件“AC=BD”当AC=BD时，由于=BD，MF=ACMN=MF MNEF为菱形.（3）要使四边形MNEF为正方形需添加条件“ACBD且AC=BD”当ACBD时，由（1）知 MNEF为矩形当AC=BD时，由（2）知 MNEF为菱形四边形MNEF为正方形答案【总结提升】四边形各边中点所围成的四边形是何种特殊四边形实质是由其对角线的关系所确定的，要灵活应用各种特殊平行四边形的判定方法。答案例2例5 如图，已知四边形ABCD为正方形，对角线相交于点O，OABC也为正方形，且绕O点旋转OA交AB于E，OC交BC于F.（1）求证：BE+BF=AB；（2）若AE=4,FC=3，求EF的长；（3）若正方形ABCD边长为4，求重合部分面积。【思路点拨】【正确解答】答案【总结提升】答案本 周 易 错例1【错误解答】【错误分析】【正确解答】例2【错误解答】【错误分析】【正确解答】周 六 过 关一、选择题二、填空题参考答案：一、二、三、周 日 过 关一、选择题
