第9讲 数阵图和幻方（一）爱因斯坦是举世文明的大科学家，以发明物理学上的相对论著称他在成名后，仍继续为德国的《法兰克福报》写稿，给读者提出一些数学问题下面是爱因斯坦做过的一道题目：如下图所示的几个圆的圆心是4个小的等腰三角形和3个大的等腰三角形的顶点，把数字1～9填入圆圈内，使这7个三角形中每个三角形顶点的数字之和都相等 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算上面两个图就是数阵图准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情我们还是先从几个简单的例子开始。
典型举例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)练习11、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已确定中间填入5)，使两条直线上的三个数之和相等2、把2、4、6、8、10这五个数填在下图的○里，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于18典型举例2把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等解：由例1的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。
因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8填法见左下图；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9填法见下中图；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10 填法见右下图 由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例练习2把6～10这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等典型举例3将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3 由此得出重叠数为 [10×3-(1+2+…+7)]÷2=1 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5可得右上图的填法 如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？练习3将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。
典型举例4将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等解：中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10+11+…+20)+15×4]÷5=45 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16于是得到右上图的填法说明：典型举例1—4都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型 一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图 辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1对于辐射型数阵图，有 已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数 由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例2A基础训练 1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？ 2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等如果中心数是5，那么又该如何填？ 3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等至少找出两种本质上不同的填法) 4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20 5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大 6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等 答案与提示 练习16 5.提示：中心数是重叠数，并且重叠4次所以每条直线上的三数之和等于 ［(1＋2＋…＋11)＋重叠数×4］÷5 ＝(66＋重叠数×4)÷5 为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22填法见右图 6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。
所以三条边及两个圆周上的所有数之和为 (1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数 因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12 中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定我们可以试着先从辐射型3-3图开始中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5于是得到左下图的填法对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)B冲刺夺冠1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等. 2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.6. 把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等. 7. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.8. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.9. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.-÷×=+===10. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.11. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.12. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.13. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.14. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.———————————————答 案——————————————————————1. . . .2615341534261624533 342615351624243156 . . .183724652. 3927518462953817463. . .658110273944. 5. 824713568612475326831457. . .6. . . . 724153661734525624317191521346113147105121687. 6759488. 56-÷32×4=87+===19. 817094235610. 。