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1、第十二章自由对流边界层 微分解推导求解过程 by-皮冬-2014/4/24（pidong91）流体运动可由某种外部手段引起，这种过程通常称为强迫流动；流体运动也可由各种体积力引起，这类过程一般称为自然对流。自然对流属于作用在密度梯度上的体积力引起的一种浮力诱发运动，浮力是流体密度梯度和与密度梯度成比例的物体力共同存在的结果。因此，在描述自由对流边界层的微分方程中，特别不能把密度这个物性定义为常数。本章我们重点讨论有表面边界的自然对流流动，一个经典的例子是热的垂直平板上边界层的发展（图12.1）。该平板浸没在广延的静止流体中，在时，靠近平板的流体密度比远处流体的小。因此，浮力导致自然对流边界层的
2、产生，在这个边界层中热流体上升，同时从静止区域中夹带流体。所产生的速度分布与强迫对流边界层中的不同，即在和处速度都为零。如果，自然对流边界层也会发展，但此时流体的运动是向下的。显然，与前面章节所表述的方程相比，描述自由对流的方程中这样两种明显的不同：一是密度必然表现为温度或浓度的函数；二是有体积力的引入。图12.1 热的垂直平板上边界层的发展12.1自由对流边界层方程考虑由浮力驱动的层流边界层流动，假设二维、稳态条件，且重力方向作用在负x方向，单位体积上的物体力可以表述为：；在自然对流中起作用的主要是浮力，所以必须考虑变物性；由于流速不高，故而可以忽略粘性耗散项的影响；最后，假定边界层近似是成
3、立的。得到控制方程如下：质量方程，含有质量方程的动量方程形式为，含有质量方程、动量方程的能量方程形式为，l 定常、变物性、无内热源条件下的三方程形式为，质量方程，含有质量方程的动量方程形式为，含有质量方程、动量方程的能量方程形式为，l 在本章的处理中，压力梯度项在动量方程中被保留，但在能量方程中却被忽略。因此三方程为，质量方程，含有质量方程的动量方程形式为，含有质量方程、动量方程的能量方程形式为，l 流体静力学：l 密度状态方程：l Boussinesq近似：由于浮力的影响仅限于动量方程，所以质量和能量守恒方程就与强迫对流一样，即可忽略三方程中除动量方程的密度以外的全部变物性的影响。于是，关于
4、自由对流的三方程的最终形式为，质量方程，含有质量方程的动量方程形式为，如果没有项，就是低速常物性的形式。含有质量方程、动量方程的能量方程形式为，从数学意义上来说，此时动量方程中浮力项的出现使得问题复杂化，其求解依赖于温度t，因而依赖于能量方程的求解，此时三个方程有很强的耦合关系，必须同时求解。12.2相似性讨论同受迫对流一样，对控制方程无量纲化可求得自然对流流动和传热的无量纲参数。引入,，式中，L是特征长度；是一个任意的参考速度，这是由于在自然对流中自由流的状态时静止的，没有像受迫对流那样合乎逻辑的外部参考速度。x动量和能量方程可写为动量方程中右边第一项的无量纲参数是浮力的直接结果。由于参考速
5、度是任意的，为简化方程形式，选择是比较方便的，于是变为。习惯上把雷诺数的平方定义为格拉晓夫数（Grashof number）格拉晓夫数（准确地说是）在自然对流过程中的作用相当于雷诺数 在受迫对流过程中的作用，其大小能确定边界层的流动状态。格拉晓夫数表征自然对流状态下浮升力与粘性力的比值，雷诺数表征受迫对流状态下惯性力与粘性力的比值。12.3相似性解：定温层流流动对于在广延的静止介质中等温垂直表面上的自然对流，上述方程必须根据以下形式的边界条件进行求解。边界条件自由对流边界层的边界条件，奥斯特拉奇（Ostrach）1已求得上述问题的相似解。在求解过程中要引入以下形式的相似参数进行变量代换 ，其中
6、，则为了达到分离变量的目的，以定义如下的流函数表示速度分量，其中， 根据流函数的上述定义，x速度分量可表示为其中表示对的微分，、都是x的函数，、均表示对x的微分；同样得到y速度分量，并引入无量纲温度由此可以推出，将上述定义代入动量方程和能量方程，有，l 含有质量方程的动量方程形式为， l 含有质量方程、动量方程的能量方程形式为由得到根据的定义式：，得到，对于，上述的动量方程和能量方程已经成为非线性常微分方程，即相应的边界条件变换如下，边界条件变化前变换后无量纲速度分布无量纲温度分布根据相似性参数的定义，从上图中可以确定对应于任意x和y值的u和t的值。同时，上图还可以用于推导合适的传热关系式。利
7、用对应于局部对流系数h的牛顿冷却定律， 其中，于是得到（局部对流传热系数）局部努谢尔数， 实验数据0.010.10.721.01010010000.05700.1640.3570.4010.8271.552.800.10.31620.848513.16231031.620.31620.56230.921211.77833.16235.623拟合关系式， 12.4积分解：定温层流流动l 引入控制体的动量方程，假定条件：定常；体积力为，有，如果所取的控制体与排量厚度和动量厚度之定义时的控制体等同，积分上式，有，l 上、下限处的物理条件：l 特别注意，物体表面处有不同于主流流体的辅流流体出现：而且，
8、控制体内的辅流流体流动因为不受任何力的影响（已经忽略了体积力），因此其流速不会发生变化；所以有，如果辅流与主流不发生掺混现象，并且全部离开边界层，则有，l 流体静力学：l 密度状态方程：l 能量积分方程l 自由对流边界层中速度和温度的分布假设在层流边界层中，曾经对速度和温度的分布做了如下函数假设，速度：；温度：实际得到的速度、温度分布函数为，速度：；温度：在自由对流边界层中，速度、温度分布的函数假设为，速度：；温度：其中，为特征速度。假设和为的幂函数，得到边界层厚度的表达式是，把的表达式代入温度分布式中，计算壁面热通量，所得努谢尔数是，l 积分近似解与微分精确解的比较积分近似解：微分精确解：1
9、2.4本章小结 对流的驱动力有两类：来自于流体外部力的驱动，这类对流称为受迫对流；来自于流体内部力的驱动，这类对流称为自由对流。 在自由对流微分方程的表达中，体积力不可忽略，并且密度必须考虑为变物性。 在自由对流微分方程组的处理中，作为变物性的密度仅仅在动量方程中予以考虑，在质量方程和能量方程中作为常物性来考虑。 对自由对流现象，相似性解依然存在。 也同样可以用积分解的方式求得自由对流边界层的近似解，与精确解相比，结果误差在6%范围以内。在自然对流中,除了动量方程中的浮力项中的密度温度的函数外,其他所有求解方程中的密度Boussinesq 假设均认为为常数，这一近似成为布辛涅司克近似。第二篇总
10、结 引入边界层概念及其数学描述，对于对流微分方程组的求解有着至关重要的意义。 流动状态有层流和湍流两类，在数学处理上，湍流的表现仅仅是各物理量的平均值与脉动值的叠加。 我们关注的是动量方程和能量方程。前者需要求得边界层中沿高度方向上的速度分布；后者需要求得边界层中的热量传递率。 求解层流微分方程的过程中，引入了相似性解这样一个重要的解题思路，这种解题思路始终贯穿于对流传热问题解决的全过程。 与层流边界层微分方程相比，湍流微分方程中多了湍流封闭问题。为解决湍流封闭问题，引入了普朗特混合长度模型和Couette流动假设。十分遗憾，湍流边界层中的问题仅仅解决到近壁处（Couette流动有效区域）。 同时也讨论了对流流动的极端情况：a) 流体温度依赖于温度时的影响：重要的处理方法是将物性作为组合来考虑，并且令组合物性为常数表现；b) 高速对流的处理，是将速度的影响归结到温度（滞止温度）中去，从而利用前面得到的结果；c) 自由对流无法用到前面的任何结论，但相似性解的解题思路依然有效。
