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1、空间几何体的证明适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点空间几何体的证明. 教学目标1.线与线、线与面、面与面位置关系的判断.2通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识.教学重点线与线、线与面、面与面位置关系.教学难点线与线、线与面、面与面位置关系的证明.教学过程一、 新课导入 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二、三、 复习预习三、知识讲解考点1 线
2、与线、线与面、面与面位置关系1、线线平行的判断： （1）平行于同一直线的两直线平行.（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （4）垂直于同一平面的两直线平行.2、线线垂直的判断： （1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.（3）若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线.补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条.3、线
3、面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理：性质定理：判断或证明直线与平面平行的方法（1）利用定义(反证法)：，则 (用于判断).（2）利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明).（3）利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明).（4）利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).4、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面.（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.（3）一直线垂直于两个平行
4、平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面.判定定理： 性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线.即： （2）垂直于同一平面的两直线平行. 即：.判断或证明线面垂直的方法（1）利用定义，用反证法证明.（2） 利用判定定理证明.（3）一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面.（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个.（5）如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面. 三垂线定理及其逆定理（1） 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线
5、段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短.如图：（2）三垂线定理及其逆定理 已知，斜线PA在平面内的射影为OA，a是平面内的一条直线. 三垂线定理：若aOA，则aPA。即垂直射影则垂直斜线. 三垂线定理逆定理：若aPA，则aOA。即垂直斜线则垂直射影.（3）三垂线定理及其逆定理的主要应用 证明异面直线垂直. 作出和证明二面角的平面角. 作点到线的垂线段.5、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.6、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。判定定理：.性质定理：（1
6、） 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90；（2） （3）（4） 四、例题精析考点1 线与线、线与面、面与面位置关系例1 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,平面，. 求证：； 求直线与平面所成的角； 设点在棱上，若平面，求的值. 【规范解答】（1）由题意知 则. （2）解：，又平面，平面平面.过作/交于 过点作交于,则 为直线与平面所成的角.在Rt中，即直线与平面所成角为. （3）解：连结，平面.又平面，平面平面，.又，即 . 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.例2 已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且 , 是的中点.(1)求与所成的角的余弦值；(
7、2)在棱PC上是否存在点N, 使DN平面AMC,若存在,确定点N位置；若不存在,说明理由.【规范解答】（1）如图,过作,且,ABCDPME连结CE、AE,则即为AC与PB所成的角,由已知可得. （2）存在,PC中点N即为所求.连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、FM,则DGFM,又平面,平面,ABCDPMFGN平面,ABCDPMFGNABCDPMFGN连DN,则GNMC,同理可证平面,ABCDPMFGNABCDPMFGN又,平面DGN平面AMC,DN平面AMC.【总结与反思】根据已知几何体的三视图确定几何体；根据题意引用辅助线即可解决问题. 例3 如图，在正方体中，、分别是、中点.（1）
8、求证：；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在点使，若存在，确定点位置， 若不存在，说明理由.【规范解答】（1）取中点，连结又，.（2）连，则，又，.（3）存在.取中点，即为所求.连结，由（2）知【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.例4 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【规范解答】（1）取中点，连结，则四边形为矩形，.连结，则，.又,故,所以为直角. 由,得平面,所以.即与两条相交直线、都垂直，所以平面. （2）由平面知，平面平面.作,垂足为,则平面ABCD,.作,垂足为,则.连结，则，又,故平面,平面平面 . 作,为垂足,则平面.,即到平面的距离为.由于,所以平面,到平面的距离也为，设与平面所成的角为,则.【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.例5已知直三棱柱中，为中点，.求证：平面；求三棱锥的体积. 【规范解答】连结交于点，连结，则和分别为和的中点， ，而， 平面. 因为平面，所以点和到平面的距离相等，从而有 . 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明及体积问题，可以转换底面及高，从而找到相关关系求解.课程小结1 注意判断线与线、线与面、面与面位置关系。2 引用辅助线将立体图形分解为平面几何进行证明或求解.3 注意解过程的规范性.
