第一章 线性空间和线性变换1.1 线性空间定义1.1 设是一个非空集合，它的元素用等表示，并称之为向量；是一个数域，它的元素用等表示如果满足下列条件(I) 在中定义一个加法运算，即当时，有唯一的，且加法运算满足下列性质(1) 结合律 ；(2)交换律 ;(3)存在零元素，使；(4)存在负元素，即对任一向量 存在向量，使得 则称是的负元素，记为，于是有 (II)在中定义数乘（数与向量的乘法）运算，即当时，有惟一的 且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律；(6)分配律(7)结合律 ；(8)1则称为数域上的线性空间或向量空间不管的元素如何，当为实数域时，则称为实线性空间，当为复数域时，就称为复线性空间例1. 设为所有正实数组成的数集，其加法与数乘运算分别定义为 ，证明是上的线性空间 定理 1.1 线性空间有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素 同维线性空间中向量组的线性相关性一样，如果为线性空间中的（有限正整数）个向量，且存在数域中的一组数, 使 (1.1)则称为向量组的线性组合，有时也称向量可由线性表示。
如果式(1.1)中的不全为零，且使 则称向量组线性相关，否则称其为线性无关 定义 1.2 线性空间中的线性无关向量组所含向量最大个数称为的维数若是具有这个性质的正整数，则称的维数是，记为 维数是的线性空间称为数域上的维线性空间，记为当时称为无限维线性空间 例： 是上的维线性空间三、线性空间的基与坐标定义 1.3 设是数域上的线性空间，（）是属于的个向量，如果它满足(1) 线性无关；(2)中任一向量都是的线性组合，则称为的一个基或者基底并称为基向量注：一个线性空间的基不是惟一的定义 1.4 称线性空间的一个基为的一个坐标系设向量，它在该基下的线性表达式为 则称为在该坐标系中的坐标或者分量，记为 （）定理 1.2. 设是的一个基，则可以惟一地表示为的线性组合基变换和坐标变换设是的旧基，为其新基，则由基的定义可得或者形式地写为 (1.6)其中矩阵称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式(1.6)为基变换公式。
现在讨论向量的坐标变换问题为此，设在上面所述旧新两基下的坐标依次是与，即有可以得到 (1.7)或者 (1.8)式(1.7)与(1.8)给出了在基变换(1.6)下的向量坐标的变换公式例： 在中，已知向量在基下的坐标为，求当该基改变为时，向量在新基下的坐标例 1.8 已知矩阵空间的两个基(I): , ，，(II): , , , 求由基(I)改变为基(II)的过渡矩阵答案 五、线性子空间定义1.5 设是数域上的线性空间的一个非空子集合，且对中已有的线性运算满足以下条件(1) 如果 则；(2)如果 则.则称为的线性子空间或子空间子空间的生成问题设是数域上的一组向量，其所有可能的线性组合的集合 是非空的，而且容易验证对的线性运算是封闭的，因此，是的一个线性子空间。
这个子空间称为由生成的子空间，记为 (1.10)定义 1.6 设 以表示的第个列向量，称子空间为的值域（列空间），记为 (1.12)由矩阵的秩的定义可知且有 还可以这样生成：令 则 由此可见 同样可以定义的值域（行空间）为 且有 定义 1.7 设 称集合为的核空间（零空间），记为 即 (1.14)是齐次线性方程组的解空间，它是的一个子空间。
的核空间的维数称为的零度，记为 即 例1.9 已知 ，求的秩及零度.答案：， 一般地，若 则有下面的一般公式 (1.15)定理 1.3 设是数域上的线性空间的一个维子空间，是的基，则这个基向量必可扩充为的一个基换言之，在中必可找到个向量 使得是的一个基六、子空间的交与和定理 1.4 如果是数域上的线性空间上的两个子空间，那么它们的交也是的子空间定义 1.8 设是数域上的线性空间上的两个子空间，且，则所有这样的元素集合称为与的和，记做 即 定理 1.5 如果都是数域上的线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理：定理 1.6 （维数公式）如果是数域上的线性空间上的两个子空间，那么有下面的公式 (1.17)定义1.8给出和空间时，只知道任一向量均可表示为和。
但是，一般来说，这种表示法并不唯一定义 1.9 如果中的任一向量只能惟一地表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和，则称为与的直和或直接和，记为 定理 1.7 和为直和的充分必要条件是 推论 1. 设是数域上的线性空间上的两个子空间，令，则的充分必要条件为 推论 2. 如果为的基，为的基，且为直和，则，为的基1.2 线性变换及其矩阵一、 线性变换及其运算定义 1.10 设是数域上的线性空间，是到自身的一个映射，使对任意向量 中都有唯一的向量与之对应，则称是的一个变换或者算子，记为 称为在下的象，而是的原象定义 1.11 如果数域上的线性空间的一个变换具有下列性质 其中 则称为的一个线性变换或线性算子。
例 1.12 定义在闭区间上的所有实连续函数的集合构成上的一个线性空间在上定义变换，即 则是上的一个线性变换定义 1.12 设是线性空间的线性变换，中所有向量的象形成的集合，称为的值域，用表示，即 中所有被变为零向量的原象构成的集合，称为的核，用表示，即 定理 1.8 线性空间的线性变换的值域和核都是的线性子空间定义 1.13 象子空间的维数称为的秩；核子空间的维数称为的亏（或 零度）例 1.14 设 试证明 是的线性变换，并求的秩与亏秩： 亏为2线性变换的矩阵表示设是的线性变换， 且是的一个基，则有 (1.2.12)其中 矩阵的第列恰是的坐标定义 1.14 式 (1.2.12)中的矩阵称为在的基下的矩阵，简称为的矩阵例 1.15 在维线性空间中，若分别取个向量则不难验证它们都各自线性无关，且的任一向量都可由它们线性表示，即它们各自是的基。
令是求导数的线性变换，求分别在这两个基下的矩阵定理 1.10 设线性变换性空间的基下的矩阵是 向量在该基下的坐标是则在该基下的坐标可按公式 来计算定理 1.11 设线性空间的线性变换，对于的两个基和的矩阵依次是和，并且 那么 定义 1.15 设为数域上的两个阶矩阵，如果存在上的阶非奇异矩阵，使得，则称相似于，记为相似矩阵有下面的三个基本性质：反身性： ；对称性：如果，那么；传递性：如果，那么例 1.17 如果 且是数域上的多项式，则矩阵多项式与之间有关系式三、特征值与特征向量 现在如何选择线性空间的基，使线性变换在该基下的矩阵形状最简单的问题为此，先论述线性变换的特征值和特征向量的概念它们对于线性变换的研究，有十分重要的作用定义 1.16 设是数域上的线性空间的线性变换，且对中的某一个数，存在非零向量，使得 成立，则称为的特征值，为的属于的特征向量定义 1.17 设是数域上的阶矩阵，是参数，的特征矩阵的行列式 称为矩阵的特征多项式，它是上的一个次多项式，记为。
的根（或零点）称为的特征（根）；而相应于方程组 的非零解向量称为的属于特征值的特征向量例 1.18 设线性变换在的基下的矩阵是 求的特征值和特征向量答案：的特征值（二重特征值），属于的特征向量为 （不同时为0）属于的全体特征向量为。