化归法在立体几何中的应用 摘要：在学习立体几何的过程中，常常利用化归法将空间问题化归为平面问题来解决，或通过割补法实现问题的转化本文主要介绍了立体几何中几种常见的化归方法关键词：化归法；立体几何；应用化归法是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较容易解决的问题，最终求得原问题解答的一种手段和方法在学习立体几何的过程中，常常利用化归法将空间问题化归为平面问题来解决，或通过割补法实现问题的转化本文主要介绍立体几何中几种常见的化归方法一、作射影利用投影将空间图形投影到一个平面内，再利用平面图形的性质，在射影图形与原空间图形的关联中探求解题途径和方法例1：如图所示，在三棱锥P-ABC中，,,求证：分析：由三垂线定理及其逆定理可知，平面内的一条直线与该平面的斜线及斜线在平面内的射影所成的垂直关系保持不变若设点O是顶点P在底面ABC上的射影，则直线AO、BO、CO分别是直线PA、PB、PC在底面ABC的射影于是，问题转化为在△ABC中当，时，证明，而这一点由三角形三条高线交于一点的性质立即得证此题利用作射影，将空间直线的垂直问题转化为平面直线的垂直问题，使问题简单化。
二、平移将几个不在同一个平面内的元素移至同一个平面内考虑，这是解决有关立体几何问题时所常用的处理方法，包括线段、直线、平面的平行移动例2：已知a、b是两条异面直线，p是空间内任意一点，则过点p有几条直线与a、b所成的角都是60?？分析：过p作直线a1、b1使a1∥a(或a1与a重合)，b1∥b(或b1与b重合)，由异面直线所成角的定义，只须求出过p有几条直线与a1、b1都成60?角即可容易知道过p且与a1、b1均成60?的直线m在α内的射影n必与a1、b1成等角当n与a1、b1所成的角小于60?时，满足条件的直线就有两条；当n与a1、b1所成的角等于60?时，满足条件的直线m只有一条(即n本身)；当n与a1、b1所成的角大于60?时，满足条件的m不存在，若考虑a1与b1所成的两对对顶角中是否存在与a1、b1的夹角均小于或等于60?的角平分线，便可得问题的结论是：若设异面直线a、b所成的角为β，则当时，满足假设条件的直线有两条；当时，满足假设条件的直线有三条；当时，满足假设条件的直线有四条此题通过作平行线将已知直线进行平移，把空间直线所成的角的问题化归为同一平面内直线角的问题三、旋转旋转一个平面，将空间图形转化为平面图形，这也是寻找立体几何问题解决方法的一种有效途径。
例3：空间不共面的四点A、B、C、D分析：如图所示，设△ABC在平面的半平面内，△ABD在半平面内，现将半平面绕AB旋转，使它与平面的另一半平面重合，设点D旋转到点E，AD与BD的长度不变，只有CD被拉长了，即，于是只须在平面四边形ABCE中证明即可设AB与CE交于O点，，则，，，将以上四式相加并整理：因为，，所以,此题的关键就是将△ABD所在的半平面绕AB旋转，使它与△ABC所在的平面重合，空间图形化归为平面图形来解决四、展开在求圆锥上两点间的最短距离时利用展开图的方法，也是把立体几何问题化归为平面问题的重要依据例4：如图在母线长为10cm，底圆半径为5cm的圆锥中，它的轴截面SAB上有两点P、Q，已知SP=8cm，SQ=6cm.求圆锥侧面上P、Q两点间的最短距离？分析：该问题只需要将圆锥沿母线SA剪开，将此圆锥侧面展开，则侧面展开图如图所示，容易从平面上两点间线段最短可知PQ=10cm由上例可知，展开图就是将空间图形剪开摊平成一个平面图形，能使一些在空间图形中不容易察觉的几何体元素的位置关系和数量关系在平面图形中显而易见五、割补根据已知条件，将一个不规则的、较复杂的几何体用截面分割成几个规则的、容易计算的几何体，或将几何体补成规则的便于计算的几何体并加以解决的方法叫做割补法。
割补是解决立体几何问题中广泛应用的化归方法例5：在三棱锥P-ABC中，其中棱长AC=6，其余各棱长均为5，求此棱锥的体积分析：若按棱锥体积公式：V=1／3*高*底面积来计算其体积，甚为繁琐，而通过分解将其化整为零，分散处理，可把原三棱锥分解成两个易求体积的小三棱锥，然后相加得原三棱锥的体积设AC中点为D，并连结BD、PD，则易证AC⊥平面PBD，于是三棱锥P-ABC的体积=三棱锥A-PBD的体积+三棱锥C-PBD的体积本题通过分割，将立体几何的计算体积问题化归转化为平面几何的计算面积问题，分解方法的核心在于“首先求得局部的解决，进而求得整体的解决”例6：设AB为异面直线AE和BF的公垂线，已知，，，且二面角E-AB-F的大小为a，则.分析：作BC平行且等于AE，AD平行且等于BF得直三棱柱AED-BCF,如图所示，在三角形ADE中，由余弦定理，得到利用补形法解决问题的一个共同的特点就是把要讨论的对象放在较为广阔的背景下来考察，这个背景往往是个规范的图形，便于观察、分析、判断和推理总之，利用化归法解决立体几何问题应遵循从未知到已知，由难到易，由繁到简的原则对于具体问题如何实现这个转化，如何找到化归的途径和怎样选择恰当的手段，并没有唯一和固定的模式，这就需要我们在解题中从实际情况出发，寻找化归的最佳途径。
作者单位：山东省无棣县职业中专邮政编码：251903OntheApplicationofReductionApproachinSolidGeometryFENGFuxianAbstract:Intheprocessoflearningsolidgeometry,reductionapproachisfrequentlyusedtoturnspaceproblemintoplaneproblemorcutandcomplementapproachisutilizedtorealizethetransformationofproblems.Thispapermainlyintroducessomecommonreductionapproachesinsolidgeometry.Keywords:reductionapproach;solidgeometry;application -全文完-。