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1、因子分析F 因子分析（Factor analysis）：用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子来反映原资料的大部分信息的统计学分析方法。从数学角度来看，主成分分析是一种化繁为简的降维处理技术。主成分分析（Principal component analysis）：是因子分析一个特例，是使用最多的因子提取方法。它通过坐标变换手段，将原有的多个相关变量，做线性变化，转换为另外一组不相关的变量。选取前面几个方差最大的主成分，这样达到了因子分析较少变量个数的目的，同时又能与较少的变量反映原有变量的绝大部分的信息。两者关系：主成分分析（PCA）和因子分析（FA）是两种把变量维数降低
2、以便于描述、理解和分析的方法。F 特点（1） 因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量，因而对因子变量的分析能够减少分析中的工作量。（2） 因子变量不是对原始变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组构，它能够反映原有变量大部分的信息。（3） 因子变量之间不存在显著的线性相关关系，对变量的分析比较方便， 但原始部分变量之间多存在较显著的相关关系。（4） 因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。在保证数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理（即通过因子分析或主成分分析）。显然，在一个低维空间解释系统要比在高维系统容易的多。F 类型根据研究对象的不同，把因子
3、分析分为 R 型和 Q 型两种。当研究对象是变量时，属于 R 型因子分析；当研究对象是样品时，属于 Q 型因子分析。但有的因子分析方法兼有 R 型和 Q 型因子分析的一些特点，如因子分析中的对应分析方法，有的学者称之为双重型因子分析，以示与其他两类的区别。F 分析原理假定：有 n 个地理样本，每个样本共有 p 个变量，构成一个 np 阶的地理数据矩阵 : xxLx 1112L1 p X = x21x22x2 p MMMM xxLx n1n2np 当 p 较大时，在 p 维空间中考察问题比较麻烦。这就需要进行降维处理，即用较少几个综合指标代替原来指标，而且使这些综合指标既能尽量多地反映原来指标所
4、反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。线性组合：记 x1，x2，xP 为原变量指标，z1，z2，zm（mp）为新变量指标（主成分），则其线性组合为:z = lx + lx+L+ lx 111 112 21 ppLz= lx 221 1+ lx+22 2M+ lx2 ppz= lxmm1 1+ lxm 2 2+L+ lxmppLij 是原变量在各主成分上的载荷z = lx + lx+L+ lx 111 112 21 ppLz= lx 221 1+ lx+22 2M+ lx2 ppz= lxmm1 1+ lxm 2 2+L+ lxmpp无论是哪一种因子分析方法，其相应的因子解都不是唯一的，主因子
5、解仅仅是无数因子解中之一。 zi 与 zj 相互无关；z1 是 x1，x2，xp 的一切线性组合中方差最大者，z2 是与 z1 不相关的x1，x2，的所有线性组合中方差最大者。则，新变量指标 z1，z2，分别称为原变量指标的第一，第二，主成分。Z 为因子变量或公共因子，可以理解为在高维空间中互相垂直的 m 个坐标轴。主成分分析实质就是确定原来变量 xj（j=1，2 ，p）在各主成分 zi（i=1，2，m）上的荷载 lij。从数学上容易知道，从数学上也可以证明，它们分别是相关矩阵的 m 个较大的特征值所对应的特征向量。分析步骤第一步：确定待分析的原有若干变量是否适合进行因子分析因子分析是从众多的
6、原始变量中重构少数几个具有代表意义的因子变量的过程。其潜在的要求：原有变量之间要具有比较强的相关性。因此，因子分析需要先进行相关分析，计算原始变量之间的相关系数矩阵。如果相关系数矩阵在 进行统计检验时，大部分相关系数均小于 0.3 且未通过检验，则这些原始变量就不太适合进行因子分析。 rR= r2111Mr12r22Mrp 2LLMLr1 pr2 pM rp 1nk =1rpp( x- x )( xr=ijkiikj- x )jn( x-nkix )i2( x- x )2kjjk =1k =1进行原始变量的相关分析之前，需要对输入的原始数据进行标准化计算（一般采用标准差标准化方法，标准化后的数
7、据均值为 0，方差为 1）。SPSS 在因子分析中还提供了几种判定是否适合因子分析的检验方法。主要有以下 3 种：巴特利特球形检验（Bartlett Test of Sphericity）反映象相关矩阵检验（Anti-image correlation matrix） KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验（1） 巴特利特球形检验该检验以变量的相关系数矩阵作为出发点，它的零假设 H0 为相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为 1，而所有非对角线上的元素都为 0，也即原始变量两两之间不相关。巴特利特球形检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到。如果该值较大，
8、且其对应的相伴概率值小于用户指定的显著性水平，那么就应拒绝零假设H0，认为相关系数不可能是单位阵，也即原始变量间存在相关性。（2） 反映象相关矩阵检验该检验以变量的偏相关系数矩阵作为出发点，将偏相关系数矩阵的每个元素取反，得到反映象相关矩阵。偏相关系数是在控制了其他变量影响的条件下计算出来的相关系数，如果变量之间存在较多的重叠影响，那么偏相关系数就会较小，这些变量越适合进行因子分析。（3） KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验该检验的统计量用于比较变量之间的简单相关和偏相关系数。KMO 值介于 0-1，越接近 1，表明所有变量之间简单相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，越适合因
9、子分析。其中，Kaiser 给出一个 KMO 检验标准：KMO0.9，非常适合；0.8KMO0.9， 适合；0.7KMO0.8，一般；0.6KMO0.7，不太适合；KMO0)和相应的标准正交的特征向量 li；根据相关系数矩阵的特征根，即公共因子Zj 的方差贡献（等于因子载荷矩阵 L 中第 j 列各元素的平方和），计算公共因子 Zj 的方差贡献率与累积贡献率。li(i = 1,2,L, p)pk =1lkilkpk =1(i = 1,2,L, p)lkk =1主成分分析是在一个多维坐标轴中，将原始变量组成的坐标系进行平移变 换，使得新的坐标原点和数据群点的重心重合。新坐标第一轴与数据变化最大方向
10、对应。通过计算特征根（方差贡献）和方差贡献率与累积方差贡献率等指标， 来判断选取公共因子的数量和公共因子（主成分）所能代表的原始变量信息。公共因子个数的确定准则：1） 根据特征值的大小来确定，一般取大于 1 的特征值对应的几个公共因子/主成分。2） 根据因子的累积方差贡献率来确定，一般取累计贡献率达85-95%的特征值所对应的第一、第二、第m（mp）个主成分。也有学者认为累积方差贡 献率应在 80以上。第三步：因子变量的命名解释因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题。经过主成分分析得到的公共因子/主成分 Z1,Z2,Zm 是对原有变量的综合。原有变量是有物理含义的变量，对它们进行线性变换
11、后，得到的新的综合变量的物理含义到底是什么？在实际的应用分析中，主要通过对载荷矩阵进行分析，得到因子变量和原有变量之间的关系，从而对新的因子变量进行命名。利用因子旋转方法能使因子 变量更具有可解释性。计算主成分载荷，构建载荷矩阵 A。a=l l (i, j = 1,2,L, p)iji ij aAa2111 .a12a21.ap1.all1ll122al2m = 1m 11l. 21.1ap1apml212.l1mllll2m.l m m llp11lp12lpmml x = a z + az +L+ a111 112 21 ppzx= az + az +L221 122 2M+ az2 pp
12、x= amz + az +L+ azm1 1m 2 2mppz = l x + lx +L+ l111 112 21 ppxz= lx + lx +L221 122 2M+ lx2 ppzmm1 1m 2 2= lx + lx +L+ lxmpp计算主成分载荷，构建载荷矩阵 A。载荷矩阵 A 中某一行表示原有变量 Xi 与公共因子/因子变量的相关关系。载荷矩阵 A 中某一列表示某一个公共因子/ 因子变量能够解释的原有变量 Xi 的信息量。有时因子载荷矩阵的解释性不太好，通常需要进行因子旋转，使原有因子变量更具有可解释性。因子旋转的主要方法：正交旋转、斜交旋转。 aAa2111 .a12a21.ap1.all1ll122a2m = l1m 11l. 21.1ap1apml212.l1mllll2m.l m m l
