高中物理竞赛教程(超详细)第十三讲力、物体的平衡 ???压物体指向沿法线方位::N3、光滑铰链物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定1）圆柱形铰链（图1-1-4,图1-1-5，图1-1-6）由两个圆孔和一个圆柱销组成在孔的轴线方向不承受作用力，其分力???待定指向轴沿方位::x X???待定指向轴沿方位::y Y 图中AC 杆受力如图，支座B 处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图 （2）球形铰链（图1-1-7,图1-1-8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为 待定指向沿坐标轴方位::?????Z Y X4、固定端（图1-1-9，图1-1-10） 如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶A M 待定指向沿坐标轴方位::???Y X???待定转向平面力系作用面方位::A M摩擦力 物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。
1．1．2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的A图1-1-4C图1-1-5cy 图1-1-6x图1-1-7 图1-1-8图1-1-10AA x F指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为N f 0max μ=式中0μ称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N 为两物体间的正压力当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比N f μ=μ 为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，μμ与0可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足N f f μ=≤max在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数0μ略大于动摩擦因数μ 摩擦角 令静摩擦因数0μ等于某一角?的正切值，即?μtg =0，这个?角就称为摩擦角在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,tg N f ==0max μ?。
支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N 与最大静摩擦力max f 的合力F （简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）在一般情况下，静摩擦力0f 未达到最大值，即?μμtg N fN f N f ≤≤≤00000,,因此接触面反作用于物体的全反力F '的作用线与面法线的夹角N farctg 0=α，不会大于摩擦角，即?α≤物体不会滑动由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件如图1-1-12放在平面上的物体A ，用力F 去推它，设摩擦角为?，推力F 与法线夹角为α，当?α时，才可能推动A 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的时间如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为t ?，但可能小球不需要t ?时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力如图1-1-14，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为μ，用一个与水平方向成多大图1-1-11图1-1-12 图1-1-13角度的力F 拉着木块匀速直线运动最省力？将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F '，摩擦角为μ?11--==tg N ftg ，这样木块受三个力：重力G ，桌面对木块的作用力F '和拉力F ，如图1-1-14，作出力的三角形，很容易看出当F 垂直于F F 时'最小，即有F 与水平方向成μ?1-=tg时最小。
例1、 例1、 如图1-1-15所示皮带速度为0v，物A 在皮带上以速度1v 垂直朝皮带边运动，试求物A 所受摩擦力的方向解：物A 相对地运动速度为r r V V V V +=01,，滑动摩擦力f 与r V 方向相反如图所示例2、物体所受全反力R 与法向的夹角m?α>的情形可能出现吗？解：不可能因为若有m ?α>则m tg tga ?>即μ>N fmax f f >∴，这是不可能的然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时，可事先假定它静止，由平衡求出)(1N Ftg -=α,有如下三种情形：?????>=<滑动临界状态静止mm m ???α§1.2力的合成与分解1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则即力21F F 和的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F ，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则即：将21,F F 通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F 即21,F F 的合力如图1-2-1(b)）如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则如图1-2-2所示，a 图为有四个力共点O ，b 图表示四个力矢f FGF '图1-1-14V 0图1-1-152F3F4F合F图1-1-1612(a) (b)图1-2-1首尾相接，从力的作用点O 连接力4F 力矢末端的有向线段就表示它们的合力。
而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即1F 力矢的起步与5F力矢的终点重合，这表示它们的合力为零力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小这有确定的一组解答 ②已知合力和它的一个分力，求另一个分力这也有确定的确答③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解1．2．2、平面共点力系合成的解析法 如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde ，并在该平面取直角坐标系Oxy ，作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见： ???+++=+++=x x y y x x x x F F F F R F F F F R 43214321上式说明，合力在任意一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这也称为合力投影定理知道了合力R 的两个投影x R 和y R ，就难求出合力的大小与方向了合力R 的大小为：合力的方向可用合力R 与x 轴所夹的角的正切值来确定：x y R R tga =1．2．3、平行力的合成与分解作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。
如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力F 1 F 2F 3F 4F 1F2F 3F 4∑FF 1F 2F 3F 4F 5(a) (b) (c) 图1-2-2两个同向平行力的合力（R ）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图1-2-4(a)，有： ?????=+=1221FF BO AO F F R两个反向平行力的合力（R ）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：21F F R -=1．2．4、空间中力的投影与分解力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的F 力在ox 、oy 、oz 轴上的投影X 、Y 、Z 分别定义为?????===γβcos cos cos F Z F Y a F X这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法这时),cos(x F F X xy xy = 式中xy F 为F在oxy 平面上的投影矢量，而),sin(Z F F F xy=力沿直角坐标轴的分解式kF j F i F k Z j Y i X z y x++=++=§1.3共点力作用下物体的平衡1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。
当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力当物体不能视为质点时，作22(a) (a)图1-2-421F F OB OA =用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零∑iiF或其分量式：0=∑iix F 0=∑iiy F 0=∑iiz F如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：γβαsin sin sin 321F FF ==1．3．2、推论物体在n(n ≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O 点，则最后一个外力的作用线也必过O 点，整个外力组必为共点力这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O 点）力，这n-1个的合力必过O 点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O 点。
特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面§1.4 固定转动轴物体的平衡1．4．1、力矩力的三要素是大小、方向和作用点由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)力与力臂的乘积称为力矩，记为M ，则M=Fd ，如图1-4-1，O 为垂直于纸面的固定轴，力F 在纸面内力矩是改变物体转动状态的原因力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用若力F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F ⊥和平行于轴的分量F ∥，F ∥对转动不起作用，这时力F 的力矩为M=F ⊥d 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和图1-4-13 图1-3-11．4．2、力偶和力偶。