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1、 全国高中数学联赛江苏复赛试题Word版含答案 2019年全国高中数学联赛江苏复赛试题 Word 版含答案全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列n a 满足*+=N n a a a a n n n ,232,2111，则2017a 的值为 2.若函数()()()b ax x x x f +-=221对于任意R x 都满足()()x f x f -=4，则()x f 的最小值是 3.在正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是侧棱11,CC BB 上的点，BD BC EC 2=，则截面ADE 与底面ABC 所成的二面角的大小是
2、4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x 5. 设y x ,是实数，则9422244+y x yx 的最大值是 6. 设,3,2,1,2121=+=+=*m a a a S N n n a m m n ,则201721,S S S 中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 7. 在直角平面坐标系xOy 中，21,F F 分别是双曲线()01222=-b by x 的左、右焦点，过点1F 作圆122=+y x 的切线，与双曲线左、右两支分别交于点B A ,，若AB B F =2，则b 的值是 8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次
3、相连成多边形，其中正多边形的个数为 二、解答题9.已知R y x ,，且y x y x =+,222，求()()2211y x y x -+的最小值.10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆13:22=+y x C 的上顶点为A ，不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且.0=?（1）直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.（2）过Q P ,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B ，求BPQ ?面积的取值范围. 11.设函数().!1!2112n n x n x x x f += （1）求证：当()*+N n x ,0时，()x f e n x；（2）设*N n
4、x ,0，若存在R y 使得()()y n n xe x n xf e 1!11+=，求证：.0x y ,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12+n 条线段染成红色. 求证：三边都为红色的三角形至少有n 个.4.设n 为正整数，nn b an =+131211， 其中n n b a ,为互素的正整数，对素数p ，令集合n p a p N n n S ,*=， 证明：对每一个素数5p ，集合p S 中至少有三个元素.试卷答案1.30261 2. 16- 3. 045 4.Z k k , 5.14 6.252 7.13+二、解答题9.解：因为222=+y x ，所以()()422=-+y
5、 x y x ，所以()()()()()()()222222114111y x y x y x y x y x y x -+? ?-+=-+ ().111412=+当0,2=y x 时，()().11122=-+y x y x 所以()()2211y x y x -+的最小值为.1 10.解：（1） 因为0=?AQ AP ，所以.AQ AP 直线AQ AP ,与x 轴平行时，P 或Q 与A 重合，不合题意. 设1:+=kx y PA ，则.11:+-=x ky QA 将1+=kx y 代入3322=+y x ，得().063122=+kx x k 所以2262, 1.1313P Pk x y
6、k k =-=-+ 同理.361,3622+-=+=k y k k x QQ 所以，直线:P P Q P Q P y y x x l y y x x -=-,即()()()()()()kx k kx k y k y k l Q Q 63163121312131:2222+=-+-+， 化简得.2141:2-=x k k y l 直线l 纵截距是常数21-，故直线l 过定点.21,0? ?-（2）由 （1） ，223116k k k AP +=，同理，.31622+=k k AQ 所以 ()()()()()()()()222222222222222223313131363131136+?+=?+
7、?+=k k k k k k k k k k PQ ()()().3103115151362242462+=k kk k k k不妨设0k ，令k k t 1+=，则2t ，可化得()()22222431236+=t t t PQ ，即 .4312622+=t t t PQ 设()00,y x B ，则切点弦PQ 的方程是3300=+y y x x ，又Q P ,在2141:2-=x k k y l 上，所以20-=y ， 从而().21320kk x -=所以B 到PQ 的距离.122316121213222222+=+?-+? ?-=t t k k k k d 因此的面积().432943
8、12612232121232222+=+?+?=?=t t t t t t t PQ d S 令t u 1=，则210.34293u u S +=当210S，当且仅当u 1,2=k 时，等号成立， 故BPQ ?的面积S 的取值范围是.,49?+ 11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：（）当1=n 时，令()()11-=-=x e x f e x f xx，则()()+-=,0,01x e x f x恒成立，所以()x f 在区间()+,0为增函数，又因为()00=f ，所以()0x f ，即().1x f e x（）假设k n =时，命题成立，即当()+,0x 时，()x f e k x，
9、则1+=k n 时，令()()()? ?+-=-=+121!11!1!211k kxk xxk x k x x e x f e x g ， 则()()0!1!2112-=?+-=x f e x k x x e x g k x k x，所以()x g 在区间()+,0为增函数， 又因为()00=g ，所以()()+,0,0x x g 恒成立，即()()+,0,1x x f e k x，所以1+=k n 时，命题成立.由（）（）及归纳假设可知，*?N n ，当()+,0x 时，().x f e n x （2）由（1）可知()x f e n x1+，即()()()()11!11!11+n n y n
10、 n x n x f e x n x f ，所以1y e ，即0y ，下证：.x y 下面先用数学归纳法证明：当().,!1!11!211,012*-+-+N n e x n x n x x e x x n n x（）当1=n 时，令()xxe xe x F -+=1，则()()+=,0,0x xe x F x， 所以()x F 在区间()+,0单调增，又()00=F ，故()0x F ，即.1x x xe e + （）假设k n =时，命题成立， 即当()+,0x 时，().!1!11!21112k k k xe x k x k x x e +-+-+=+x k x x k x k e x
11、k e e x k e x k x x x G ，所以()x G 在区间()+,0上为增函数，又()00=G ，故()0x G ，即()()+,0,!11!1!21112x e x k x k x x e x k k x .由（）（）及归纳假设， 可知当()+,0x 时，(),!11!1!21112x n n xe x n x n x x e +所以()()x n n y n n xe x n x n x x e x n x n x x e 1212!11!1!211!11!1!211+=，从而x y e e ，证毕.复赛加试答案1.证明：连接.,PE PA因为五边形ABCDE 内接于圆O ，
12、 所以EDF ABF DEF BAF =, 所以EDF ABF ?, 所以.FDFBED AB = 同理，BFPFBC PE =, .PFDFPA DC = 由?得.1=?PADC BC PE ED AB 因为ED BC CD AB ?=?,所以.1=?EDDC BC AB 所以PA PE =，即点P 是弧AE 的中点，所以.AE OP 2.解：因为b a ,是不相邻的整数， 所以()()()y y x x y x y x a b -+-+=+-+=-22222.32222222222=+=y y x x由于a b -是整数，所以.2=-a b 设Z n n b n a +=-=,1,1，即122,1+=+-=+n y x n y x ，则122,1+=+-+-=-n y x y x n y x y x ，则122,1+-=+-+-=-n yx y x n y x y x ，于是122,112+=+-+-=n x n y x n x 从而()()()()y x n y x n x n -+-+-=-212,112， 故()().2121+=+-x n n x n 又因为()().2222=-+x x 令x t =
