《全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)-第5稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)-第5稿（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案) 2015年全国 数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1已知点P (4，1)在函数f (x )log a (x b ) (b 0)的图象上，则ab 的最大值是 解：由题意知，log a (4b )1，即a b 4，且a 0，a 1，b 0，从而ab (a b )244， 当a b 2时，ab 的最大值是42函数f (x )3sin(2x 4)在x 4324处的值是 解：2x 4431244012103243，所以f (4324)3sin 4332 3若不等式|ax 1|3的
2、解集为x |2x 1，则实数a 的值是 解：设函数f (x )|ax 1|，则f (2) f (1)3，故a 24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 解：有两类情况：同为白球的概率是310252530625，同为红球的概率是76252542625，所求的概率是72625 5在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2y 2b 21(a b 0)与椭圆x 2b 2y 2c 21有相同的离心率e ，则e 的值是 解：若c b ，则c 2a 2c 2b 2c 2，得a b ，矛盾
3、，因此c b ，且有c 2a 2b 2c 2b 2，解得e 152 6如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点记四棱锥E ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 （第6题图） A 1解：记四棱锥B 1ABCD 的体积为V 如图，DE 23DB 1，从而V 123V 又V 13V 2，所以V 1V 2297若实数集合A 31x ，65y 与B 5xy ，403仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元素之积的值是 解：因为31x 65y 5xy 4032015xy 若xy 0，
4、则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy 0，从而A B 中所有元素之积的值为0 8设向量a (cos ，sin )，b (sin ，cos )向量x 1，x 2，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，y 7中有2个为a ，其余为b 则7i =1x i y i 的可能取值中最小的为 解：因为a a b b 1，a b 0，所以7i =1x i y i 的最小值为29在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a 2
5、012，从而对角线上三个数的和为x 2011因此b x 2014，c 4026，d 2013，e x 2014 由b e x x 2011，解得x 20112这9个数的和为3(201122011)180992，所以幻方中其余6个数之和为180992201822135210在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x 0，y 0，x y x y 19的点(x ，y )形成的区域（其中x 是不超过x 的最大整数）则区域D 中整点的个数为 解：区域D 中整点的个数为1231055（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每
6、小题20分，共80分）11在等比数列a n 中，a 22，q 是公比记S n 为a n 的前n 项和，T n 为数列a 2n 的前n 项和若S 2n 2T n ，求q 的值解：若q 1，则a n a 22，a 2n 4，则S 2n 4n ，T n 4n ，S 2n 2T n 若q 1，则a n 2(1)n ，a 2n 4，则S 2n 0，T n 4n ，S 2n 2T n 5分若q 1，则a n 2q n 2，a 2n 4q 2n 4，从而S 2n 2q (1q 2n )1q ，T n 4q 2(1q 2n )1q 2 15分由S 2n 2T n ，则4q (1q )1，q 2q 40，解得q
7、 1172综上，q 的值为1172和1172 20分12如图，ABC 中，AB AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD CE BAC 的外角平分线与ADE 的外接圆交于A 、P 两点求证：A 、P 、B 、C 四点共圆证明：如图，连结PD ，PE ，PC 因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以P AD PED ，P AF PDE 又因为AP 是BAC 的外角平分线， 所以P AD P AF ， 从而PED PDE ，故PD PE 10分 又ADP AEP ， 所以BDP CEP 又因为BD CE ，所以BDP CEP ，从而PBD PCE ，即PBA PCA ，ABCDP(第
8、12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆 10分13如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y kx 及x 轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k tan，设t tan 2，则k 2t 1t 2 圆心O 1，O 2在直线y tx 上，可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt ) 交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t 0 4分 所以O 1：(x m )2+(y mt )2=(mt )2，O 1：(x n )2
9、+(y nt )2=(nt )2，所以(2m )2(2mt )2(mt )2，(2n )2(2nt )2(nt )2，即m 2(44t )m 80，n 2(44t )n 80， 8分 所以 m ，n 是方程X 2(4+4t )X 8=0的两根，mn 8由半径的积(mt )(nt )2，得t 214，故t 12 16分 所以 k 2t 1t 2111443，直线l ：y 43x 20分 14将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色（1）当k 2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由 解：（1）设正十一边形的顶
10、点A 1，A 2，A 3，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i 1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有11125个错误!未指定书签。，这些三角形均不是等边三角形，即当j i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155个 5分当k 2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327个注意
11、到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728个 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11k 个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k 1)2条，两端点染蓝色的有(11k )(10k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11k )条并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1x 33k (k 1)2， 3x 2x 43(11k )(10k )2， 2x 32x 43k (11k )， 由得 3(x 1x 2)x 3x 432k (k 1)(11k )(10k )， 用代入得 x 1x 212 k (k 1)(11k )(10k )k (11k )12(3k 233k 110) 当k 5或6时，(x 1x 2)min 12(546556)10 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k 5或6 20分 -全文完-
