《全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新-第1稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新-第1稿（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新 2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1设实数a 满足|1193a a a a -10,332(-a 解：由|a a -aa a a a 即111912-a b ，即从B 中取走
2、的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法因此，所求的概率为3592110541832725=?=?C C 5设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC =90，M 为AP 的中点若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M BC A 的大小为 答案：32arctan解：由ABC =90知，AC 为底面圆的直径设底面中心为O ，则PO 平面ABC ，易知121=AC AO ，进而122=-=AO AP PO 设H 为M 在底面上的射影，则H 为AO 的中点在底面中作BCHK 于点K ，则由三垂线定理知BC MK ，从而MKH 为二面角M B
3、C A 的平面角因21=AH MH ，结合HK 与AB 平行知，43=AC HC AB HK ，即43=HK ，这样32tan =HK MH MKH 故二面角M BC A 的大小为32arctan 6设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数若对任意实数a ，均有|)(1|)(R x x f a x a x f =+k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时|)(1|)(R x x f a x a x f =+的情况 此时331314)(m n a m n a a =，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数 相应地，43
4、21,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,，它们均为正整数这表明，对任意给定的1=m n q ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,a a a a 的个数，即为满足不等式1003l n 的正整数l 的个数，即1003n 由于10053，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312641006410027100271008100=+=+ 当m n 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),(4321a a a a 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本题满分16分）在ABC ?中，已知?=?+?32求C sin 的最大值 解：由数量积的定义及余弦定理知，2cos 222a c b A cb -+=? 同理得，2222b c a -+=?，2222c b a -+=?故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-+-+即22232c b a =+8分由余弦定理及基本不等式，得 ab b a b a ab c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3263263=?+=a b b a a b b a 所以37cos 1sin 2-=C C 12分 -全文完-
