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1、 全国高中数学联赛模拟试题02 1.在如下图所示的正方体D C B A ABCD -中， 二面角C BD A -等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ?的三个内角C B A ,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列n a 满足条件：)2(2,12,12211121+-=+=+=-+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(n 。4.21,F F 是椭圆)0(2222=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ?的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=F
2、PF F PF 则=a5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,n a a a 与非负实数12,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n += ;(2) 121212n n a a a b b b += ，则 121212n n n b b b a a a a a a ?+ ?的最大值为_7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,2014 克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为_克8.设)1()(x x x g -=是定义在区间
3、1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221+=+n n n S S S n n n ，已知,5,121=a a 求数列n a 的通项公式。10.（20分）设,3,2,1x x x 是多项式方程011103=+-x x 的三个根。 （1）已知,3,2,1x x x 都落在区间)5,5(-之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：123arctan arctan arctan 4x x x +=11.（20分）如下图，椭圆)1,0(),0,2(,14
4、:22-=+B A y x 是椭圆上的两点，直线)0,0)(,(.1:,2:000021-=-=y x y x P y l x l 是上的一个动点，3l 是过点P 且与相切的直线，ED C ,分别是直线1l 与2l ，2l 与3l ，1l 与3l 的交点， 求证：三条直线BE AD ,和CP 共点。1.在如下图所示的正方体D C B A ABCD -中，二面角C BD A -等于解：1arccos32.如果三角形ABC ?的三个内角C B A ,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是解：3.记C z B y A x cot ,cot ,cot =，则2y
5、 x z =+.由于,x y z 至多一个负数，故0y ， 且1xy z x y-=-+.即1xy yz zx +=.消去z 后，得到222(12)0x xy y -+-=，方程有实根， 所以21240y =-，故3cot 3B y =即3B 且3A B C =时等号成立3.实数列n a 满足条件：)2(2,12,12211121+-=+=+=-+n a a na a a a n n n n ，则=n a )1(n解：12n+.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明. 4.21,F F 是椭圆)0(2222=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF
6、?的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=F PF F PF 则=a解：152.不妨假定12(,0),(,0)(0),F c F c c -设00(,)P x y .则1F P 的斜率为112k =，2F P 的斜率为22k =，因此002x c y +=，002()y x c =-解得0054,33x c y c =又12204=13PF F S cy c =，所以32c =，点5323(,)63P .从而12215a PF PF =+=，所以152a =5.设)1()(x x x g -=是定义在区间1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是6.
7、已知正实数12,n a a a 与非负实数12,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n += ; (2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212nn n b b b a a a a a a ?+ ?的最大值为_解：12.由均值不等式知: ()()()()()()112211221nn n n n a b a b a b a b a b a b n +?+=?,于是 ()12121231231231n n n n n a a a bb b b a a a a b a a a a a b + ,即()1212121212112n n n
8、n n b b b a a a a a a b b b a a a ?+-+=? .取1212111,0,2n n n a a a b b b b -= 满足条件,且取到最大值.7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,2014 克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为_克解：147.设这20块砝码质量为1220a a a .首先用归纳法证明: 12(11)k k a k -.（1）当1k =时,显然, （2）设结论对1,2,k n = 成立，若12(10)n n a n +，则由11212221n n n a a a -+=- 知2n克的物品无法称量，矛盾！于是，7128
9、122255a a a += ， 所以9102020142551759a a a +-= ，所以20175914612a ，即20147a ，又当12(8)k k a k -=，91020147a a a = 时，符合条件，故最小值为 147克8.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221+=+n n n S S S n n n ，已知,5,121=a a 求数列n a 的通项公式。10.
10、（20分）设,3,2,1x x x 是多项式方程011103=+-x x 的三个根。（1）已知,3,2,1x x x 都落在区间)5,5(-之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：123arctan arctan arctan 4x x x +=11.（20分）如下图，椭圆)1,0(),0,2(,14:22-=+B A y x 是椭圆上的两点，直线)0,0)(,(.1:,2:000021-=-=y x y x P y l x l 是上的一个动点，3l 是过点P 且与相切的直线，ED C ,分别是直线1l 与2l ，2l 与3l ，1l 与3l 的交点， 求证：三条直线BE AD ,和CP 共点
11、。解答三：利用赛瓦定理PSHMACB二（本题满分40分）如图，在ABC ?中，AB AC ，H 为ABC ?的垂心，M 为边BC 的中点，点S 在边BC 上且满足BHM CHS =，点A 在直线HS 上的射影为P .证明：MPS ?的外接圆与ABC ?的外接圆相切.三（本题满分50分）整数,a b c d 满足1ad bc -=.求2222a b c d ab cd ac bd bc +-的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组(),a b c d四（本题满分50分）设整数2n ,0,1,1G n =- ，,A B G ?，对x G ，记()AB f x 为满足(mod )a b x n -
12、，a A ，b B 的数组(,)a b 的个数，类似定义()AA f x ，()BB f x .证明：2()()()ABAA BB x Gx Gfx f x f x =?.解：根据运算“?”的定义，2x ?为整数，进而(2)22(2)2x y x y 排=?2(2)2x y =?2222x y =+222222x y x y =+， 其中,x y 表示,x y 的小数部分同理可知(2)2222222y x y x y x 排=+ 比较、可知，(2)2(2)2x y y x 排=排当且仅当22222222x y y x +=+由于2,20,1x y ?，而222x +与222y +均是偶数，故上
13、式成立的充分必要条件是222222x y +=+，且22x y = 若,0,322)x y ?，则220x y =，22222x y +=+= 若1,322,)2x y ?，则220x y =，22223x y +=+=若1,1)2x y ?，则221x y =，22223x y +=+=当,x y 取自0,322)-、1322,)2-、1,1)2中不同的区间时，不成立对0,1,2,0,1m n 挝，记(,)(,)|(,),A m n x y x y A x m y n =?=，则根据上述讨论知，(,)A m n 所对应的平面区域面积2221163(,)(322)0)(322)1222222S m n 骣骣鼢珑=-+-+-=-鼢珑鼢珑桫桫， 因此点集A 所对应的平面区域面积为210063(,)622218913222m n S m n =骣?=?=-?桫邋 二（本题满分40分）如图，在ABC ?中，AB AC ，H 为ABC ?的垂心，M 为边BC 的中点，点S 在边BC 上且满足BHM CHS =，点A 在直线HS 上的射影为P .证明：MPS ?的外接圆与ABC ?的外接圆相切.证明：联接AH 并延长交ABC ?的外接圆于点D ，作/DE BC 与ABC
