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1、清单08 指数与指数函数知识与方法清单1.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减；当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数；运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数【对点训练1】= _【答案】0【解析】=0.2.正确区分与：表示的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,但其值受n的奇偶性的限制,当n为大于1的奇数时,=a,当n为偶数时,=；表示的n次幂,当n为奇数时,=
2、a,当n为偶数时,=.【对点训练2】若有意义,则x的范围是 【答案】【解析】有意义,则,有意义,则,所以x的范围是.3.为使开偶次方根时不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,去绝对值符号时要结合条件来分类讨论.【对点训练3】是的( )A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】,当时,不一定成立,所以不是充分条件,当时,不成立,所以不是必要条件,故选D.4.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：,.【对点训练4】若,则_【答案】3【解析】设,则,所以由可得,解得(舍去),或,所以3.5.已知(且),则.【对点
3、训练5】已知,且,则_【答案】【解析】由可得,所以,所以.6.根据指数式求值要重视整体代换及方程思想的应用.【对点训练6】若,则_【答案】【解析】由题意可知,因为,所以,即,两边同时除以得,所以(舍去)或.7.若(且),则,【对点训练7】已知点都在指数函数图象上,则下列各点一定在图象上的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可设(且) 点都在图象上,可得,所以,所以点一定在图象上,故选B.8. (且)的图象与的图象关于y轴对称.【对点训练8】（2021吉林省长春市高三四模）如图,中不属于函数,的一个是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数与关于对称,可知正确,函数为单调递增函
4、数,故正确.所以不是已知函数图象.故选B9.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的图象,要比较底数a,b,c,d与1之间的大小,可作直线,由直线与四个图象交点的上下位置关系可得cd1ab.由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数yax(a0且a1)的图象越高,底数越大【对点训练9】（2021北京市精华学校高三三模）已知实数满足等式,下列关系式中不可能成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】作出函数与函数的图像,如图,当时,根据图像得,故A选项正确；当时,根据图像得,故D选项正确；当时,根据图像得,故B选项正确；故不可能成立的是.故选C
5、10.(且)的图象经过定点,的图象经过定点.【对点训练10】（2021四川省雅安市2021届高三三模）函数的图象恒过定点A,若点A在双曲线上,则的最大值为 （ ）A6B4C2D1【答案】B【解析】设,因为,所以点A的坐标为,又因为点A在双曲线上,所以,因此,当且仅当时取等号,即时取等号,故选B11.指数函数的单调性取决于底数a的大小,若,指数函数单调递减；若,指数函数单调递减；若指数函数的底数a为参数,解题时通常分和进行分类讨论【对点训练11】已知且,若函数的图象恒过定点,且指数函数在上是减函数,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意知,由指数函数在上是减函数,可得,即,所以或,故实数的
6、取值范围是.12.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.【对点训练12】（2021山东省青岛市高三三模）已知,则的大小关系正确的为（ ）ABCD【答案】B【解析】,指数函数在上单调递减,即,又幂函数在上单调递增,即,故选B.13.指数型函数的图象,
7、一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称.【对点训练13】若方程有两个不同的实根,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】设,当时,图象如图所示,方程有两个不同的实根,则图象与直线有两个不同交点,由图知,当,即时满足题意；当时,而,此时方程没有实根,综上得实数a的取值范围是14.形如若(且,)的函数的性质若(且,),则的定义域为,当时在上是减函数,在上是增函数,的值域为；当时在上是增函数,在上是减函数,的值域为.【对点训练14】函数在上是减函数,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得,所
8、以.故实数a的取值范围是.15. 形如(且,)的函数的性质若(且,),则的定义域为,当时的单调性与的单调性一致,当时的单调性与的单调性相反；当或时的值域为；当或时的值域为；的图象关于直线对称.【对点训练15】若的图象关于直线对称,则的值域为_【答案】【解析】由的图象关于直线对称,得,所以=.因为是减函数,所以,故的值域为.16.研究函数的性质通常采用换元法转化为二次函数进行研究.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.【对点训练16】求函数的值域.【解析】设则,且所以=,因为,所以,所以,所以函数的值域为.17.求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察是型,还是型,前者
9、的定义域受的定义域的影响,后者的定义域与的定义域相同,而求型的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).【对点训练17】若,求函数的定义域.【解析】由,及,可得,要使函数有意义,应满足,即,因为,所以,所以的定义域为.18.指数不等式的解法若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为；若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为.【对点训练18】若不等式解集为R,且不等式的解集为 【答案】【解析】由不等式解集为R,得,所以由得,即,解得,所以不等式的解集为.19.给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方
10、程或不等式(组)求参数的值或取值范围.【对点训练19】已知函数的定义域和值域都是,则_【答案】【解析】当时,在上递增又的定义域和值域都是,所以该方程组无解；当时,在上递减又的定义域和值域都是,所以,解得所以20.指数型函数的奇偶性是高考考查的一个热点,且常以以下函数为生长点：, (a0且a1).【对点训练20】（2021宁夏银川市高三二模）已知函数（ ）A是偶函数,且在单调递增B是奇函数,且在单调递减C是偶函数,且在单调递减D是奇函数,且在单调递增【答案】D【解析】因为,所以,即函数为奇函数,当时,单调递增,故选D21.根据题中所给指数式的特点,构造指数型函数,然后利用指数型函数的性质解题,这
11、是函数思想的应用.【对点训练21】（2021湘豫名校高三5月联考）设实数,满足,则,的大小关系为（ ）ABCD无法比较【答案】A【解析】假设,则,由得,因函数在上单调递减,又,则,所以；由得,因函数在上单调递减,又,则,所以；即有与假设矛盾,所以,故选A跟踪检测一、单选题1（2021陕西省西安地区八校高三下学期联考）已知,则（ ）A120B210C336D504【答案】C【解析】,得,解得：,所以.故选C2.（2021山西省太原市高三三模）已知实数,满足,则下列正确的结论是（ ）ABCD【答案】B【解析】,故.故选B.3.（2021浙江省绍兴市2高三3月适应性考试）已知,且若,则（ ）ABCD
12、【答案】A【解析】依题意,且,当时,由此排除BD选项.当时,可能相同,如,由此排除C选项.故选A4.函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】由,可得其定义域为,且,故为奇函数,排除选项A和B,又,由此可知时,函数单调递减.故选C.5.（2021陕西省宝鸡市高三下学期适应性训练）已知函数,则（ ）ABC4D4042【答案】C【解析】因为,所以.故选C6.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京年冬奧会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨
13、水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.ABCD【答案】C【解析】由题意可得,可得,设,可得,解得.因此,污染物消除至最初的还需要小时.故选C.7.（2021全国100所名校高考冲刺卷）已知,则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为,所以.若,则,A项不正确；当时,则,当时,不等式不一定成立,B项不正确；当时,当时,存在,所以C项不正确；当时,则,当时,由指对函数的变化趋势,知,即恒成立,D项正确故选D8.（2021. 内蒙古乌兰察布高三一模）已知,则以下命题：；.正确的个数是（ ）A0B1C
14、2D3【答案】C【解析】因为,且在上为增函数,所以,所以,所以正确；因为当时,满足,此时,则,即,所以错误,故选C9（2021. 湖南省长沙市四大名校名高三下学期猜题卷） 镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A甲同学和乙同学B丙同学和乙同学C乙同学和甲同学D丙同学和甲同学【答案】C【解析】,又,有又因为镜片折射率越高,镜片越薄,故甲同学创作的镜片最厚,乙同学创作的镜片最薄故选C.10.（2021北京市海淀区高三二模）已知指数函数,将函数的图象上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的倍,得到函数的图象,再将的图象向右平
