试卷类别：试卷类别：A A 卷卷考试形式：闭卷考试形式：闭卷考试时间：考试时间：120120分钟分钟适用层次：适用层次：适用专业；适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业课程名称：高等数学高等数学 A A（考试性质：期末统考（期末统考（A A 卷）卷）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1设函数f (x, y)在P(x0, y0)的两个偏导fx(x0, y0)，fy(x0, y0)都存在，则()Af (x, y)在P连续Bf (x, y)在P可微核分题号 （型）一二三四C人得分lim f (x, y0)总分xx评卷人及lim f (x0, y)都存在Dlimf (x, y)存在0高等数学课程名称：yy0(x,y)(x0,y0)2若z yln x，则dz等于（） 3设是圆柱面x2 y2 2x及平面z 0, ,z 1所围成的区域，则f (x, y,z)dxdydz (）4 4若an(x1)n在x 1处收敛，则此级数在x 2处（） n1A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不能确定5曲线x y z 2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）.22z x yA. （-1，3，4）B.（3，-1，4）C. （-1，0，3）D.（3，0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）x2y2xyz 01设，则zx(1,1) .2交 换I 1dx0f (x, y)dy的积分次序后，I _3设u 2xy z2，则u在点为 .4.已知xne n0n!xelnxM(2,1,1)处的梯度，则xex .第 1 页5. 函数z x3 y33x23y2的极小值点是 .三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）1.（本小题满分 6 分）设z yarctan, 求yxzz,.xy2. （本小题满分 6 分） 求椭球面2x23y2 z2 9的平行于平面2x3y2z 1 0的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分 7 分）求函数z x2 y2在点(1,2)处沿向量l i1x123j方向的方向导数。
24. （本小题满分 7 分）将f (x) 展开成x 3的幂级数，并求收敛域5 （本小题满分 7 分）求由方程2x22y2 z28yz z 80所确定的隐函数z z(x, y)的极值6（本小题满分 7 分） 计算二重积分(x2 y2)d,D由曲线x 1 y2,y 1,y 1及x 2围D成.7.（本小题满分 7 分）利用格林公式计算Lxy2dy x2ydx，其中L是圆周x2 y2 a2（按逆时针方向）.8.（本小题满分 7 分）计算xydxdydz，其中是由柱面x2 y21及平面z 1,x 0, y 0所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1 （本小题满分 8 分）设级数un,vn都收敛，证明级数(unvn)2收敛n1n1n12 （本小题满分 8 分）设函数f (x, y)在R2内具有一阶连续偏导数，且证明曲线积分L2xydx f (x, y)dy与路径无关若对任意的t恒有 f 2x， x (t,1) (0,0)2xydx f (x, y)dy (1,t) (0,0)2xydx f (x, y)dy，求f (x, y)的表达式参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、单选题（共 15 分，每小题 3 分） ：1.C2 D3 C4B5 A二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1.-12.I 0dye1ey(1)nxn1f (x, y)dx3. 2 i 4 j 2k45. (2,2)n!n0三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）zy21解： 22;(3 分)xx yxyzy=arctan+22( 6 分).yxx y第 2 页2. 解：记切点(x0, y0,z0)则切平面的法向量为n 2(2x0,3y0,z0)满足：2x03y0z0，切点232为：(1,1,2)或(1,1,2)(3 分)，切平面：2x3y2z9or9( 4 分)， 法线方程分别为：x1y1z 2x1y1z 2或者( 6 分)232232f (1,2)12 3( 7 分)3. 解：f (1,2) (2,4)( 3 分),l1114. 解：f (x) =,( 2 分)x 33 (x 3)31 ()311x 3n11n1nn(1)()=(1)n( )n1(x 3)n,因为(1) x，x(1,1),所以x 31 x3333n0n01 ()n03x3其中11，即0 x 6.( 5 分)3111n1当x 0时，级数为发散；当x 6时，级数为(1) 发散,故=(1)n( )n1(x 3)n，33xn0n03n0 x(0, 6)， ( 7 分)4xzx12z8y05. 解：由, 得到x 0与y2z0,( 2 分)z4(y2z)0y12z8y8再代入2x22y2z28yzz80，得到7z2 z 8 0即z 1,。
716由此可知隐函数z z(x, y)的驻点为(0,2)与(0,) ( 4 分)72z42z4162z由2，可知在驻点(0,2)与(0,)有H 0 5 分) 0，27x12z8yy12z8yxy2z4在(0,2)点，z 1，因此2 0，所以(0,2)为极小值点，极小值为z 1；( 6 分)x152z4168168在(0,)点，z ，因此2 0，所以(0,)为极大值点，极大值为z ， ( 7x157777分)2 x 0 1 y2 x 0D2:6. 解：记D1:，则D D1 D2.（2 分） 故1 y 11 y 1222222(x y )d(x y )d(x y )d( 4 分)DD1D2dy(x y )dxdr3dr 1220102232120（7 分）437. 解 ：L所 围 区 域D：x2 y2 a2, 由 格 林 公 式 ， 可 得Lxy2d y x2yd x=2a(xy2)(x2y)4222(x y )dxdy=dr rdr a.(7 分)()dxdy002xyDD第 3 页 0 z 1,8.解 ： 如 图 ， 选 取 柱 面 坐 标 系 计 算 方 便 , 此 时 ，:0 ,所 以20 r 1,1xydxdydz dzd0rcosrsinrdr( 4 分)1020z1=201cos2r413sin2d0r dr=()24402101. (7 分)8Ox四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1证明：因为limun0,limvn0， （2 分）nn2221y故存在 N，当n N时，(unvn) unvn 2unvn 3un，因此(unvn)2收敛。
（8 分）n12证明：因为 ( (2xy) ) f 2x，故曲线积分2xydx f (x, y)dy与路径无关 2x，且（4 分）L y x因此设f(x,y) x2 g(y)，从而 (t,1) (0,0)（5 分）2xydx f (x, y)dy 0dxt2 g(y)dy t2g(y)dy， 0 00t 11 1 (1,t) (0,0)（6 分）2xydx f (x, y)dy 0dx1 g(y)dy t g(y)dy， 0 0 0t 1tt由此得t2 0g(y)dy t 0g(y)dy对任意t成立，于是g(t) 2t 1，即（8 分）f (x, y) x2 g(y) x2 2y 1第 4 页。