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1、密封线八年级数学竞赛试卷第 2试(考试时间：2010 年 12 月 18 日 9301130)题号得分评卷人复评人15610111213总分学校姓名准考证号一选择题（每小题一选择题（每小题 6 6 分，共分，共 3030 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1有两堆数量相同的棋子第一堆全为白色，第二堆全为黑色现在从第一堆中取出若干个白棋子， 将其放入第二堆中， 充分混合后， 从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子 （棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（）A此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子
2、的数量B此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量C此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量D此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定2盒中原有8 个小球，一位魔术师从中任意取几个小球， 把每一个小球都变成了 8 个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了8 个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（）A2003 个B2004 个C2005 个D2006 个3某个游泳池有 2 个进水口和一个出水口， 每个进水口的进水量与时间的关系如图1 所示，出水口的出水量与时间的关系如图 2 所示，某天早上
3、 5 点到 10 点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图 3 所示图 1图 2图 3在下面的论断中：5 点到 6 点，打开进水口，关闭出水口；6 点到 8 点，同时关闭两个进水口和一个出水口；8 点到 9 点，关闭两个进水口，打开出水口；10 点到 11 点，同时打开两个进水口和一个出水口可能正确的是（）ABCD4如图，等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，在斜边 AB 上取两点 M、N，使MCN=45设 MN=x，BN=n，AM=m，则以x、m、n 为边的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随 x、m、n 的值而定AMNCB5一根长30 厘米、宽3 厘米的长方形纸条，将
4、其按照图示的过程折叠为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为（） A7.5 厘米B9 厘米C10.5 厘米D12 厘米_ A_ M_ B_ P二填空二填空 ( (每小题每小题 6 6 分，共分，共 3030 分分) )A6如图，已知ABC 是一个等边三角形，它的边AB 长为 3，D、E、DF 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，则DEF 的边长为。7魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数abc，然后调换所想FBEC三位数的数字顺序，得到5 个数acb,bac,bca,cab,cba,并求出这 5 个数的和 N。魔术师声称，只要游戏者告诉他N 的大小，
5、他就能知道游戏参加者所想的数abc是多少。如果 N=2630，那么abc的值可能是8某商场为了吸引顾客， 设立了一个可以自由转动的转盘转盘（如图）（如图） ，并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（图红中未标注的都为白色区域） ，顾客就可以分别获得 100 元、50黄元、20 元的购物券，凭此券可以在该商场继续购物。如顾客不绿黄愿意参加摇奖，可以直接获赠购物券10 元。如果有足够多次的绿绿绿机会参加活动，你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券，哪种方式更合算，说明理由：9已知 abab（a1） ，则等式 2xx5 中的 x=10
6、桌上有五枚硬币，每次操作，选择其中4 个硬币并将它们翻转过来，即如果原来含国徽的一面朝上，将盖面朝下，原来含国徽的一面朝下，将该面朝上。如果开始的时候，五枚硬币有国徽的一面都朝上， 你能经过若干次操作将这些硬币都翻转过来吗？如能， 写出你的翻转过程，如不能，说明理由：。密封线学校姓名准考证号三解答题（第三解答题（第 1111、1212 題各題各 1515 分，分，1313 題題 3030 分，共分，共 6060 分）分）11某租赁公司共有50 台联合收割机，其中甲型20 台，乙型30 台现将这50 台联合收割机派往 A、B 两地收割小麦，其中30 台派往 A 地，20 台派往 B 地两地区与该
7、租赁公司商定的每天的租赁价格如下：A 地B 地甲型收割机的租金1800 元/台1600 元/台乙型收割机的租金1600 元/台1200 元/台（1）设派往 A 地 x 台乙型联合收割机，租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为y（元） ，请用 x 表示 y，并注明 x 的范围（2）若使租赁公司这50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600 元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出12对于任意线段AB，可以构造以AB 为对角线的矩形 ACBD。连接CD，与AB 交于 A1点，过A1作 BC 的垂线段 A1C1，垂足为 C1；连接 C1D，与 AB 交于 A2点，过 A2作 BC
8、的垂线段 A2C2，垂足为 C2；连接 C2D，与 AB 交于 A3点，过 A3作 BC 的垂线段 A3C3，垂足为 C3，如此下去，可以依次得到点A4，A5，An.如果设 AB 的长为 1，则（1）A1B，A2B，A3B 的长依次是多少？你是怎么得到的，写出你的过程。（2）一般地，你能猜想出AnB 的长（用 n 的代数式表示）吗？并说明你猜想的正确性。ADA1A2A3A4BCC1C2C3密封线学校姓名准考证号13如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1 个长度单位。（1）如图，格点 C 与格点 A、B 构成的三角形 ABC 的面积是 2，还有一些格点与格点A、B 构成的三角形面积也
9、是2，请找出所有这样的格点，并在图上标示出来。BCA（2）有些格点与格点A、B 可以构成等腰三角形ABD，请你找出所有这样的格点D，并在图中标出。BA（3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；如没有，思考：在下面的 8*8 格点图中，是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图（如 100*100 个点的格点图） ，这个结论是否成立？为了说明方便，可以建立适当的坐标系， 在坐标系中说明哟！（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB 为腰的等腰直角三角形，有没有以AB 为底的等腰直角三角形？一般地
10、，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。20052005 年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第 2 2 试试参考答案及评分意见参考答案及评分意见一、一、选择题（每小题选择题（每小题 6 6 分，共分，共 3
11、030 分）分）1 1B2 2A 3 3D 4 4B5 5C二、二、填空题（每小题填空题（每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）6 637 72568 8参加摇奖更合算，因为大量次数摇奖的平均收益为100*5%+50*10%+20*20%=14，大于直接获得奖券的 10 元。9 90 或 1/51010不能。记国徽朝上的状态为 1，朝下为1，每次操作改变 4 个数字的符号，5 个数字的积不变。因此目标状态不可能由 1 变为1注意也可用奇数、偶数知识说明。三、三、解答题（解答题（6060 分）分）1111 （1）y 200 x 74000 7 分10 x 30 9 分（2）三种方案，依
12、次为 x28，29，30 的情况 15 分1212 （1）A1B111 A2B= A3B (解答应有过程) 8 分3241（2）AnB= 10 分n1说理 (略) 15 分1313 （1）C1、C2、C3、C4，如图：CCBCCAC（2）D1、D2、D3、D4等 9 点，如图：DDBDDDDAD13 分（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8 格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形。说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）,(c,d),
13、证明 a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2 无整数解。（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以 AB 为腰的等腰直角三角形，有以 AB 为底的等腰直角三角形。一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所 在线段 为腰 的等腰直 角三角 形。 如果所给 定两个 格点 的坐标为（a,b） ,(c,d),符合条件的第 3 个点有几个， 如其中一个可以是 （a+d-b,b+a-c） 。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),只有当 a+d 与 b+c 具有相同的奇偶性时， 才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。 30 分
