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1、第七章 随机变量及其分布章末复习【网络构建】【核心归纳】1离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X，Y，Z等表示(2)离散型随机变量：所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.(3)离散型随机变量的分布列.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi为X的概率分布列，简称分布列，也可以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn(4)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1，2，n；pi1
2、.(5)常见的分布列两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X如果P(A)p，则P()1p，那么X的分布列如表所示X01P1pp我们称X服从两点分布或01分布超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A和B是两个随机事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件
3、A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率(2)全概率一般地，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)P(Ai)P(B.全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算即运用了“化整为零”的思想处理问题(3)n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验(4)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列
4、为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)两点分布是当n1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式3离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，为随机变量X的标准差(2)均值与方差的性质：若YaXb，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aXb)
5、aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(3)常见分布的均值和方差公式两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)p，方差D(X)p(1p)二项分布：若随机变量XB(n，p)，则均值E(X)np，方差D(X)np(1p)4正态分布(1)函数f(x)e，xR，其中R，0为参数显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)(2)正态曲线的特点曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；当无限增大时，曲线无限接近x轴(3)
6、正态分布的期望与方差若XN(，2)，则E(X) ，D(X)2.【要点聚集】要点一条件概率的求法条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)；(2)P(B|A).在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的样本点个数；n(A)是指事件A发生的样本点个数【例1】口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少
7、？解记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共65个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有45个，所以P(A).(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共65个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有43个，所以P(AB).(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A).【训练1】掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，求“掷出点数之和大于或等于10”的概率解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A；“第一颗掷出6点”为事件B，法一P(A|B
8、).法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6种n(B)6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6，4)，(6，5)，(6，6)共3种，即n(AB)3.P(A|B).要点二全概率公式全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”的解题策略【例2】某学生的手机掉了，落在宿舍中的概率为60%，在这种情况下找到的概率为98%；落在教室里的概率为25%，在这种情况下找到的概率为50%；落在路上的概率为15%，在这种情况下找到的概率为20%.求：(1)该学生找到手机的概率；(2)在找到的条
9、件下，手机在宿舍中找到的概率解设“手机落在宿舍”为事件B1，“手机落在教室” 为事件B2，“手机落在路上”为事件B3，“找到手机”为事件A，则B1B2B3，(1)P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)98%60%50%25%20%15%0.743.(2)P(B1|A)0.791.【训练2】采购员要购买10个一包的电器元件他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品求：(1)采购员拒绝购买的概率；(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率解B1取到的
10、是含4个次品的包 ，B2取到的是含1个次品的包 ，A采购员拒绝购买，P(B1)0.3，P(B2)0.7.P(A|B1)1，P(A|B2)1.(1)由全概率公式得到P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2).(2)P(B1|A).要点三离散型随机变量的分布列、均值和方差求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下几个步骤：角度1两点分布【例3】设X服从两点分布，分布列为，其中p(0，1)，则()AE(X)p，D(X)p3BE(X)p，D(X)p2CE(X)q，D(X)q2DE(X)1p，D(X)pp2解析X服从两点分布，则E(X)q1p，D(X)p(1p)
11、pp2.答案D角度2二项分布【例4】已知随机变量XB，则D(2X1)等于()A6 B4C3 D9解析D(2X1)4D(X)，D(X)6，D(2X1)46.答案A角度3超几何分布【例5】某学院为了调查本校学生2020年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：0，5，(5，10，(10，15，(25，30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数
12、超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)解(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40(10.75)400.2510.(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，且Y服从超几何分布所以P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).所以Y的分布列为Y012P所以Y的均值E(Y)12.角度4综合应用【例6】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)(1)设随机变量X表示一次掷得的点数和，求X的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量Y表示一次掷得的点
13、数和大于5的次数，求E(Y)，D(Y)解(1)由已知，随机变量X的取值为2，3，4，5，6.设掷一个正方体骰子所得点数为X0，则X0的分布列为：P(X01)，P(X02)，P(X03)，所以P(X2)，P(X3)2，P(X4)2，P(X5)2，P(X6).故X的分布列为X23456P(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p.因为随机变量YB，所以E(Y)np10，D(Y)np(1p)10.【训练3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值(1)求X的分布列；(2)记“函数f(x)x23Xx1在区间2，)上单调递增”为事件A，求事件A发生的概率解(1)分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3.则A1，A2，A3相互独立，且P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以X的可能取值为1，3.P(X3)P(A1A2A3)P()P(A1)P(A2)P(A3)P()P(2)P(3)0.40.50.60.60.5
