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1、数学数学 苏（理）苏（理）4.2同角三角函数基本关系及诱导公式第四章三角函数、解三角形基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2cos212.下列各角的终边与角的终边的关系角2k (kZ)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sinsinsinsincoscoscoscoscoscossinsinta
2、ntantantanu思考辨析思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)sin()sin成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若cos(n)(nZ)，则cos.()题号答案解析12341解析解析解析答案思维升华题型一同角三角函数关系题型一同角三角函数关系的应用的应用例例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.解析答案思维升华又x(，2)，题型一同角三角函数关系题型一同角三角函数关系的应用的应用例例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.解析答案思维升华又x(，2)，题型一同角三角函数关系题型一同角三角函数关系的应用的应用例
3、例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.解析答案思维升华题型一同角三角函数关系题型一同角三角函数关系的应用的应用例例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化.解析答案思维升华题型一同角三角函数关系题型一同角三角函数关系的应用的应用例例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利 用 (sin cos )212sin cos ，可以知一求二.解析答案思维升华题型一同角三角函数关系题型一同角
4、三角函数关系的应用的应用例例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tanx.(3)注意公式逆用及变形 应 用 ： 1 sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .即tan2，sin2sincos解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .即tan2，sin2sincos解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互
5、化，利用tan可以实现角的弦切互化.解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利 用 (sin cos )212sin cos ，可以知一求二.解析答案思维升华例例1已知5， 则 sin2 sin cos 的 值 是 .(3)注意公式逆用及变形 应 用 ： 1 sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(2)已知tan2，则sincos.思维点拨解析思维升华题型二诱导公式的应用题型二诱导公式的应用思维点拨解析思维升华题型二诱导公式的应用题型二诱导公式的应
6、用思维点拨解析思维升华题型二诱导公式的应用题型二诱导公式的应用熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.思维点拨解析思维升华题型二诱导公式的应用题型二诱导公式的应用思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华先化简已知，求出cos 的值，然后化简结论并代入求值.思维点拨解析思维升华解解 cos( 7)cos(7)思维点拨解析思维升华熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.思维点拨解析思维升华(2)已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2().
7、题型三三角函数式的求值与题型三三角函数式的求值与化简化简解析答案思维升华解析答案思维升华题型三三角函数式的求值与题型三三角函数式的求值与化简化简2tan()3cos()50化简为2tan3sin50，tan()6sin()10化简为tan6sin10.由消去sin，解得tan3.又为锐角，根据sin2cos21，解析答案思维升华题型三三角函数式的求值与题型三三角函数式的求值与化简化简解析答案思维升华题型三三角函数式的求值与题型三三角函数式的求值与化简化简解得tan3.又为锐角，根据sin2cos21，在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消
8、，减少函数种类，对式子进行化简.解析答案思维升华题型三三角函数式的求值与题型三三角函数式的求值与化简化简解析答案思维升华例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.解析答案思维升华例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.解析答案思维升华所以(sincos)212sincos1，所以sin0，cos0，例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.解析答案思维升华例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.解析答案思维升华例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的
9、特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简.解析答案思维升华例例3(2)已知是三角形的内角，且sincos，则tan.跟跟踪踪训训练练3(1)若为三角形的一个内角，且sincos，则这个三角形是三角形(填“锐角”“直角”“钝角”).解析解析(sincos)212sincos，此三角形为钝角三角形.钝角tan20，为第一象限角或第三象限角.又sincos0，为第三象限角，得sin2cos代入sin2cos21，思想与方法系列思想与方法系列5 5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒典典例例：(1)已知
10、A(kZ)，则A的值构成的集合是.角中含有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；思想与方法系列思想与方法系列5 5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典典例例：(1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思想与方法系列思想与方法系列5 5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典典例例：(1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是.A的值构成的集合是2，2.2，2(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也
11、不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思想与方法系列思想与方法系列5 5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典典例例：(1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是.2，2思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.思 维 点 拨
12、解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.又A、B是三角形的内角，.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.又A、B是三角形的内角，.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cosAcos(B)，则C.(1)本题在
13、三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.方 法 与 技 巧同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.方 法 与 技 巧失 误 与 防 范1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开
14、方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2345678910123456789101又sin2cos21，345678910123456789101224567891013所以tan2，23567891014234678910155.函数y3cos(x)2的图象关于直线x对称，则的取值是.解析解析ycosx2的对称轴为xk(kZ)，xk(kZ)，即xk(kZ)，6.如 果 sin ， 且 为 第 二 象 限 角 ， 则 sin .2345789101623456891017234569101781234567810192345678101910.已知sin，cos是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3()sin3()的值.(已知：a3b3(ab)(a2abb2)23456789110解解由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.(sincos)212sincos，23456789110(sincos)(sin2sincoscos2)123456123456即2cos23cos20，12345621234560123456123456123456解解当n为偶数，即n2k(kZ)时，123456当n为奇数，即n2k1(kZ)时，123456综上得f(x)sin2x.123456123456
