《二项式定理公开课教案-第2稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理公开课教案-第2稿（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 二项式定理公开课教案 二项式定理公开课教案1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8*N n n 天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“nn)17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开b a b a +=+1)(2222)(b ab a b a
2、 +=+；32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +=+=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a +=+=+5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +=+=+教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5)(b a +的展开式为例，说出各项字母排列
3、的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答：展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；展开式的项数比乘方指数多1项；展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式：()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +=+-K 33221)( （）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，
4、并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7)(b a +教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100)(b a +以及)()(*+N n b a n 呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将)()()()(4b a b a
5、 b a b a b a +=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：)()()()(443322114b a b a b a b a b a +=+4321a a a a = 4a 1432243134214321b a a a b a a a b a a a b a a a += b a 3 214331424132324142314321b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a += 22b a 3214421343124321b b b a b
6、 b b a b b b a b b b a += 3ab 4321b b b b = 4b（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题1：以22b a 项为例，有几种情况相乘均可得到22b a 项？这里的字母b a ,各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母b a ,分别来自4个不同的括号，22b a 项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a 、一个是b 。
7、每个括号只能取一个字母，任取两个a 、两个b ，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：()()()()()4322344)()()()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a +=+=+括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理板书课题：)()(222110*-+=+N n b C b a C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n n n K 。3、深化认识 请学生总结：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 二项式定理展开式的结构
8、特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例1】展开4)11(x +6)12(xx -【例2】求7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。求9)1(xx -的展开式中含3x 项的系数。变式：在二项式定理中，令x b a =,1，得到怎样的公式？nn n r r n n n n x C x C x C x C x +=+K 2211)1(思考：?210=+nn
9、 r n n n n C C C C C K 为什么？?21=+nn r n n n C C C C K 【例3】解决起始问题：nn n n n n n n n n C C C C +=+=-777)17(81110， 前面是7的倍数，因此余数为1=nn C ，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。 四、课堂小结本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。二项式定理的表达式以及展开式的通项， 要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，二项式定理由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式： (a+b)2=(a+b)(a+b
10、)=a 2+2ab+b 2； 从上述过程中可以发现，(a+b)n 是n 个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a 或选b ，而且每个(a+b)中的a 或b 选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。探索(a+b)4的展开式的形式。4个括号中取a 和取b 的个数和为4，即每一项的形式是a 4-k b k ，（1）k=0时，a 4-k b k =a 4，四个括号中全都取a ，相当于取0个b ，有C 40项a 4，即a 4的系数为得：C 40；（2）k=1时，四个括号中有1个取b ，剩下的3个取a ，得：C 41a 3
11、C 33b （3）k=1时，四个括号中有2个取b ，剩下的2个取a ，得：C 42a 2C 22b 2 （4）k=3时，四个括号中有3个取b ，剩下的1个取a ，得：C 43a C 11b 3 （5）k=4时，四个括号中全都取b ，得：C 44b 4(a+b)4= C 40a 4+C 41a 3b+C 42a 2b 2+C 43a b 3+C 44b 4(a+b)n 的展开式又是什么呢？猜想：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n nn +=+- 证明：对（a+b ）n 分类，按b 可以分n+1类，不取b ：C n 0
12、a n ； 取1个b ：C n 1a n-1b ； 取2个b ：C n 1a n-2b 2； (k+1)取k 个b ：C n k a n-k b k ；例3求12()x a +的展开式中的倒数第4项；求93()3x x+的展开式常数项；解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+=3992921993()()33r r r r r r r x T C C x x-+=?，当390,62r r -=时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =?=；“杨辉三角”1)(b a +1 1
13、2)(b a +1 2 1 3)(b a +1 3 3 1 4)(b a +1 4 6 415)(b a +1 5 10 10 5 1 6)(b a +1 6 15 20 15 6 1这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。 “杨辉三角”的特征：表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n 不大时，可以根据这个表来求二项式系数。设表中不为1的数C r n+1,那么它肩上的两个数分别为C n n-1，C n r ，所以C r n+1= C n n-1+ C n r 。详解九章算术中的“杨辉三角”如右图。二项式系数的性质n b a )(+展开式的二项式系数依次是 nn n n n C ,C ,C ,C 210 -全文完-
