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1、o分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型,因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法.1.求分段函数的定义域和值域2x2f(x)=-2xI3它是一个函数,并未作深入说明,例1,求函数x-1,0；x(0,2);x=2,+艺)；的定义域、值域.解析：作图，利用“数形结合”易知f(x)的定义域为TE)域为(-1,2U3.+11/0)仃的值域./w例2.求函数解析：因为当x的
2、时，x2+1习；当x0时，-x20,所以，原函数的值域是2.求分段函数的函数值1,+叫U(-8,0).例1.已知函数|x-1|-2,(|x|M)f(x)=1，(|x|1)ff11+x求ff(刃解析：因为fG)普一1|一2ffG)=f(-)=1+(-奇)213例2.已知函数,求f(ff(a)(a1a0,f(a)=2a，又02a1,3,所以，注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.fg(x)=矿口练1.设州,0.则1g(g()=x42e(x:2),f(x)=2练2.设i|Qg3(x一1)以-2),则ff(2)二3.求分段函数的最值例1.求函数4x3(x0)f(x)=x3(0：xM
3、)-x5(x1)解析：当x0时，fmax(x)=f(0)=3,当01时,-x5：-15=4,fmax(X)=4例2.设a为实数，函数分析：因为原函数可化为f(x)=x综上有2+|x-a|+1,xCR,求f(x)的最小值.(x皿)所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可解：当xa时，函数f(x)=x2-x+a+1所以若2,贝炳数f(x)在(-8间上单调递减，从而f(x)在(-8间上的最小值为f(a)=a2+1.套，则函数f(x)/(I)=-+a在(-8间上的最小值为24，且当x函数)3-a+4;I2，贝炳数f(x)在a,+8)上的最小值为I2，贝炳数f(x)在a,+8)上的最小值为f(a)
4、=a2+1.2时，函数f(x)的最小值是4-当22时，函数f(x)的最小值是a2+1；13a+一2时，函数f(x)的最小值是4注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的4.求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移i个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为()A.2x2f(x)=言2(一1x壬0)(0:x2)B.2x-2f(x)=次(一1壬x0)(0:x三2)C.2x-2f(x)、1(1x立2
5、)(2：x4)3D.f(x)2x-6(1三x2)(2:x4)解析：当xH-2,0时，y=北+将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得解析式为y=*(x-2)+1T=*xT所以f(x)=2x+2(xw1，0)，当xw0，1时，y=2x+1，将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得解析式综上可得y=2(x2)+11=2x4，所以f(x)=*x+2(x在0，2)2x+2(14x0)f(x)=2+2(0号2)，故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时
6、间的关系用图2的抛物线段表示：写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解析：由图l可得市场售价与时间的关系为300-z(0t200)2t-300(200由图2可得种植成本与时间的函数关系为155或0=疝。一烦,2(0W300)。f2+1(Q200),20022+-/-亚至(200300).20022(II)设t时间的纯收益为h(t),由题意得h(t)=f(t)-g(t)再求h(t)的最大值即可。注：观察图1,知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观
7、察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100o5.作分段函数的图像_|lnx|CD例i.函数y=eTxT|的图像大致是()a的值.y=a有且仅有3个交点，求例2.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,(?-2x-3-?+2r+3所以/-2芥-3由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：f(x)=|(x-1)
8、2-4|=|(x+1)(x-3)|,盘-眼-3(x-1/(a)=$-而+2工*3(-13)由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例1.求函数(心)3)的反函数.6.求分段函数得反函数解：f(x)在R上是单调减函数,-f(x)在R上有反函数.-y=x2+1(x0)的反函数是y=1-x(x1),-/x-1(x2叽-函数f(x)的反函数是注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可1r(x1)一，、/、xN一，、例2.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=3-1,设f(x)得反函数为y=g(x
9、),求g(x)的表达式.解析：设x0,所以MfN31,又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=f(x),且f(O)=O,所以冷尸13：因此3x-1(x0)log3(x1)(x0)f(x)=0(x=0)g(x)=0(x=0)13(x0),从而可得Log3(1-x)(x0).af4(-)例3.已知f(x)=3；*(?v6)(x6)，若记f(x)为门)的反函数，且9则f(a4)=.7.判断分段函数的奇偶性x2(x-1)(x0)f(x)=2例1.判断函数X(x+1)(x0时，x0,f(x)=(x)2(x+1)=X2(X1)=f(X),当x=0时of(_。)=f(0)=0,当x0,XA0,f(
10、x)=(x)2(X1)=x”x+1)=f(x)因此，对于任意xR都有f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论8.判断分段函数的单调性-3,xx(x_0)f(x)=2例1.判断函数X(xx2必须分成三类:1.当xix20时，则f(x1)-f(x沪r-I=(x1-x2)(x1+x2)0；2.当0x1x2时，则/g)-JS)=-()=g+勺).3.当x10x2时，则=就E+忌*io.综上所述：xR,且xx2时，有f(x1)-f(x2)0。所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变
11、量的值分类讨论解二：显然f(x)连续.当x芝0时，f(x)=3x2+121恒成立，所以f(x)是单调递增函数x0时，f(x)=2x0恒成立，f(x)也是单调递增函数，所以f(x)在R上是单调递增函数或画图易知f(x)在R土是单调递增函数例2.写出函数f(x)=11+2x|+|2-x|的单调减区间-3x1(x三-i)f(x)=3x(-2：x：2)解析：段-1(xH)，画图知单调减区间为(-气-虬9.解分段函数的方程f(x)例1.设函数x(-二，1log81xx(1，二)则满足方程f(x)14的x的值为c-x11解析：若2一气则2=2，得x=2(一-，1】，所以x=2(舍去)，若log”-七则1x
12、=814，解得x=3(1，*c)，所以x=3即为所求.例2.设函数f(x)2=i%xx(-二，1xWH，则满足方程f(x)4的x的值为c-x11解析：若2一4，则2=2，得x=2u(-o0,1，所以x=2(舍去)，若log81x-W，则1x=814,解得x=3以1,危)，所以x=3即为所求.丁1x2(|x|1)练1：函数f(x)=t|x|(|x1)，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足A.a0B.0a11gx-1f(x):练2:设定义为R的函数I0,x=.则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充要条件是()A.b0b.b0且c0C.b0),若MX0)1,则
13、冷得取值范围是()D. A.(-1,1)B.(-1，二)(-二，-2)一.(0,二)(-二,-1)-(1,3)解一：首先画出y=f(x)和y=1的大致图像，f(xo):1时，所对应的X。的取值范围是易知解二：因为f(x。)1当X0罚时，2f11,解得X0WT,当X00时,1为21，解得X01,综上X0的取值范围是(TV*).故选D.f(x)例2:设函数(X1)2(x：1)=,.4-VT(x5,则使得f(x)习的自变量X的取值范围为()A(-二，-2一0,10B.(一二，一20,1C.(，-2u1,10D.-2,0-1,10解析：当X1时，f(x)Xu(x+1)2Xux-2或xMO,所以x2或0x1,当xE时,f(x)_1：=4-.x-1_1：=.x1立3：二x10,所以1x10,综上所述,x壬一2或0x410,故选a项f(x)例3:设函数.2(x1)(x：:1)=.4一、.x-1(x_1)L7,贝U使得f(x)X的自变量x的取值范围为()A.C.(-二，-2_.0,10(-二，-2_
