《高考数学一轮复习 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精品 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精品 新人教A版（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要点梳理要点梳理1.1.二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )表示平面区域表示平面区域 作二元一次不等式作二元一次不等式AxAx+ +ByBy+ +C C0(0(或或AxAx+ +ByBy+ +C C0)0,0,则包含点则包含点P P的半平面为不等式的半平面为不等式 _ _所表示的平面区域所表示的平面区域, ,不包含点不包含点P P的半平面的半平面 为不等式为不等式_所表示的平面区域所表示的平面区域 . .2.2.线性规划的有关概念线性规划的有关概念 (1) (1)线性约束条件线性约束条件由条件列出一次不等式由条件列出一次不等式( (或方或方 程程) )组组. . (2) (2)线性目标
2、函数线性目标函数由条件列出一次函数表达式由条件列出一次函数表达式. . (3) (3)线性规划问题线性规划问题: :求线性目标函数在约束条件下的求线性目标函数在约束条件下的 最大值或最小值问题最大值或最小值问题. . (4) (4)可行解可行解: :满足满足 _ _的解的解( (x x, ,y y).). (5) (5)可行域可行域: :所有所有_的集合的集合. .AxAx+ +ByBy+ +C C00AxAx+ +ByBy+ +C C00线性约束条件线性约束条件可行解可行解.（6 6）最优解）最优解: :使使_取得最大值或最小值的可取得最大值或最小值的可 行解行解. .3.3.利用线性规划求
3、最值利用线性规划求最值, ,一般用图解法求解一般用图解法求解, ,其步骤是其步骤是 (1) (1)在平面直角坐标系内作出可行域在平面直角坐标系内作出可行域. . (2) (2)作出目标函数的等值线作出目标函数的等值线. . (3) (3)确定最优解确定最优解: :在可行域内平行移动目标函数等值在可行域内平行移动目标函数等值 线线, ,从而确定从而确定_._. (4) (4)求最值求最值: :将最优解代入目标函数即可求出最大值将最优解代入目标函数即可求出最大值 或最小值或最小值. .目标函数目标函数最优解最优解.4.4.线性规划实质上是线性规划实质上是“_”“_”数学思想方法在一数学思想方法在一
4、 个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地 寻找出来，是一种较快地求最值的方法寻找出来，是一种较快地求最值的方法. .5.5.在求解应用问题时要特别注意题意中的在求解应用问题时要特别注意题意中的_ _ _，不可将范围盲目扩大，不可将范围盲目扩大. . 数形结合数形结合变量的取值变量的取值范围范围.基础自测基础自测1.1.下列各点中下列各点中, ,不在不在x x+ +y y-10-10表示的平面区域的表示的平面区域的 是是 （ ） A. A.（0 0，0 0） B. B.（-1-1，1 1） C. C.（-1-1，3 3） D. D.（2 2，-3
5、-3） 解析解析 将选项将选项A A、B B、C C、D D中的坐标代入中的坐标代入x x+ +y y-1-1验验 证可得证可得C C符合题意符合题意. . C.2.2.若点若点(1,3)(1,3)和和(-4,-2)(-4,-2)在直线在直线2 2x x+ +y y+ +m m=0=0的两侧，则的两侧，则m m 的取值范围是的取值范围是 （ ） A. A.m m-510 B.10 B.m m=-5=-5或或m m=10=10 C.-5 C.-5m m10 D.-510 D.-5m m1010 解析解析 由题意可得由题意可得(21+3+(21+3+m m)2(-4)-2+)2(-4)-2+m m
6、00， 即即( (m m+5)(+5)(m m-10)0,-5-10)0,-5m m10. 10. C.3.3.设设A A=（x x，y y）| |x x，y y，1-1-x x- -y y是三角形的三边长是三角形的三边长 ， 则则A A所表示的平面区域所表示的平面区域( (不含边界的阴影部分不含边界的阴影部分) )是是 （ ）.解析解析 由已知得由已知得 答案答案 A A.4.4.（20092009安徽文，安徽文，3 3）不等式组不等式组 所表所表 示的平面区域的面积等于示的平面区域的面积等于 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 不等式组表示的平面区域如图所示，
7、不等式组表示的平面区域如图所示， .由由 得交点得交点A A的坐标为（的坐标为（1 1，1 1）. .又又B B、C C两点的坐标为（两点的坐标为（0 0，4 4），），答案答案 C C .5.5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成. .请木请木 工需付工资每人工需付工资每人5050元，请瓦工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人4040元，元， 现有工人工资预算现有工人工资预算2 0002 000元元, ,设木工设木工x x人，瓦工人，瓦工y y人，人， 请工人的约束条件是请工人的约束条件是_._. 解析解析 由题意可得由题意可得.题型一题型一 二元一次
8、不等式（组）表示的平面区域二元一次不等式（组）表示的平面区域【例例1 1】画出不等式组画出不等式组 表示的平面区表示的平面区 域域, ,并回答下列问题并回答下列问题: : (1) (1)指出指出x x, ,y y的取值范围的取值范围; ; (2) (2)平面区域内有多少个整点平面区域内有多少个整点? ?题型分类题型分类 深度剖析深度剖析.思维启迪思维启迪 (1)(1)不等式组表示的平面区域是各个不等不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集式所表示的平面点集的交集, ,因而是各个不等式所表因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分示的平面区域的公共部分, ,但要注意是否包含边界但
9、要注意是否包含边界. .(2)(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点整点是指横、纵坐标均为整数的点. . 解解 (1) (1)不等式不等式x x- -y y+50+50表示直表示直线线x x- -y y+5=0+5=0上及右下方的点的集上及右下方的点的集合合. .x x+ +y y00表示直线表示直线x x+ +y y=0=0上及右上及右上方的点的集合上方的点的集合, ,x x33表示直线表示直线x x=3=3上及左方的点的集合上及左方的点的集合. . .所以所以, ,不等式组不等式组 表示的平面区域如图所示表示的平面区域如图所示. .结合图中可行域得结合图中可行域得 (2)(2)由图形及不等式
10、组知由图形及不等式组知 当当x x=3=3时时,-3,-3y y8,8,有有1212个整点个整点; ;当当x x=2=2时时,-2,-2y y7,7,有有1010个整点个整点; ;当当x x=1=1时时,-1,-1y y6,6,有有8 8个整点个整点; ;当当x x=0=0时，时，00y y55，有，有6 6个整点；个整点；当当x x=-1=-1时时,1,1y y4,4,有有4 4个整点个整点; ;.当当x x=-2=-2时时,2,2y y3,3,有有2 2个整点个整点; ;平面区域内的整点共有平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=422+4+6+8+10+12=42个个. . 本题
11、主要考查不等式表示的平面区域、本题主要考查不等式表示的平面区域、数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结合的方法和逻辑推理能力合的方法和逻辑推理能力. .(1)(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集平面区域点集的交集, ,因而是各个不等式所表示的平因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分面区域的公共部分. .(2)(2)在封闭区域内找整点数目时在封闭区域内找整点数目时, ,若数目较小时若数目较小时, ,可画可画网网格逐一数出格逐一数出; ;若数目较大若数目较大, ,则可分
12、则可分x x= =m m逐条分段统计逐条分段统计. .探究提高探究提高.知能迁移知能迁移1 1 如图如图ABCABC中中, ,A A(0,1),(0,1), B B(-2,2),(-2,2),C C(2,6),(2,6),写出写出ABCABC区域区域 所表示的二元一次不等式组所表示的二元一次不等式组. . 解解 由已知得直线由已知得直线ABAB、BCBC、CACA 的方程分别为：的方程分别为： 直线直线ABAB：x x+2+2y y-2=0-2=0， 直线直线BCBC：x x- -y y+4=0+4=0， 直线直线CACA：5 5x x-2-2y y+2=0.+2=0. 原点原点(0(0，0)
13、0)不在各直线上，将原点坐标代入到各不在各直线上，将原点坐标代入到各 直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为.题型二题型二 求目标函数的最值问题求目标函数的最值问题 【例例2 2】（20092009海南，宁夏，海南，宁夏，6 6）设设x x, ,y y满足满足 则则z z= =x x+ +y y （ ） A. A.有最小值有最小值2 2，最大值，最大值3 3 B. B.有最小值有最小值2 2，无最大值，无最大值 C. C.有最大值有最大值3 3，无最小值，无最小值 D. D.既无最小值，也无最大值既无最小值，也无最大值 先作出可行域，然后作出与直线
14、先作出可行域，然后作出与直线x x+ +y y=0=0平平 行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从 而求出最大、最小值而求出最大、最小值. . 思维启迪思维启迪.解析解析 如下图作出不等式组表示的可行域，由于如下图作出不等式组表示的可行域，由于z z= =x x+ +y y的斜率大于的斜率大于2 2x x+ +y y=4=4的斜率，因此当的斜率，因此当z z= =x x+ +y y过点过点(2,(2,0)0)时，时，z z有最小值，但有最小值，但z z没有最大值没有最大值. .答案答案 B B .探究提高探究提高 (1)(1)首先把二元一次不等
15、式所表示的平面首先把二元一次不等式所表示的平面 区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界. .求目标函数的最大值或最小值求目标函数的最大值或最小值, ,必须先求出准确的可必须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值最优解的点，从而求出最值. .一般直线的交点是最值一般直线的交点是最值点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行
16、域的某边平行时，其最优解可能有无数多个边平行时，其最优解可能有无数多个. .(2)(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关的截距有关. .若目标函数为形如若目标函数为形如 可考虑可考虑( (a a，b b) )与与( (x x，y y) )两点连线的斜率两点连线的斜率. .若目标函数为形如若目标函数为形如z z=(=(x x- -a a) )2 2+(+(y y- -b b) )2 2，可考虑，可考虑( (x x, ,y y) )与与( (a a, ,b b) )两点距离的平方两点距离的平方. . .知能迁移知能迁移2 2 （20092009浙江理浙江理,13,13）若实数若实数x x, ,y y满足不满足不 等式组等式组 则则z z=2=2x x+3+3y y的最小值是的最小值是_._. 解析解析 作出不等式表示的可行作出不等式表示的可行 域如图所示，由于域如图所示，由于2 2x x+3+3y y= =z z的斜的斜 率率 故故z z=2=2x x+3+3y y在点在点(2,0)(2,0) 处取得最小值处取得最小值4. 4.
