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1、二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBACP图1OxyD2、如图2，已知二次函数的图像经过点A
2、和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3911AB图2（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离3、如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (04)，PQA的面积记为S. 求S与的函数关系式； 当为
3、何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的值，使得PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. PBACOQ图34、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；-30-1-21234S(万元)图41 2 3 4 5 6
4、 t(月)（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD轴交抛物线于D，过B作BC轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S. 求S与之间的函数关系式. 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.EO1备用图D图
5、5EBACO16、(07浙江中考)如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；图6备用图（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。7、（07海南中考）如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点
6、为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；备用备用图7设是中函数S的最大值，那么 = . 图88、（05海南中考）如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8,并求出此
7、时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.x经y经0经1经2经34经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图99、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2) 设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B，DCx轴于C.当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否
8、存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在ABCDOyx图10抛物线上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，ADx轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.11、（07本校模拟二）MN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy一座拱桥的截面轮廓
9、为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是的形式. 请根据所给的数据求出的值.（2）求支柱MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)请说说你的理由.二次函数综合题训练题型集合1、 (1) m=1. 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1. (2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE . PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.
10、 即h=-x2+3x (0x3). (3) 存在. 要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点D在直线y=x+1上, 点D的坐标为(1,2), -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.2、解：（1）二次函数的表达式为 （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得 ，解得m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴对称，点Q到x轴的距离为63、（1） 所求抛物线的函数关系式为. （2） 过点B作BE轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 由tanBAE
11、=，得BAE =60.EFPBACOQ图13 （）当点Q在线段AB上运动，即02时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF轴于F，则QF=， S=PAQF. （）当点Q在线段BC上运动，即24时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这S=（）当02时，. ， 当=2时，S有最大值，最大值S=.（）当24时， ， S随着的增大而减小. 当=2时，S有最大值，最大值. 综合（）（），当=2时，S有最大值，最大值为. PQA是等边三角形. 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA =90，这时PA=2QA，即4-=2， . P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). 当点
12、Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得PQA是直角三角形，则必须5-=， P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈 （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得 a(t-2)2-2=0，解得a= . 所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t. （3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30 解得t1=10，t2=-6（舍去）. EO1DBACP答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （4）把t=7
13、代入关系式，得S=72-27=10.5 把t=8代入关系式，得S=82-28=16 16-10.5=5.5 答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1） 抛物线顶点为F（1,0） 该抛线经过点E（0,1） ， 即函数关系式为. （2） A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上， B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). . 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得PAE的周长最小. AE=4（定值），要使PAE的周长
